AC⊥BD,证明AB²+BC²+CD²+AD² 为定值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 04:16:38

AC与BD的交点是不是定点?
再问：是
再答：设交点M，圆心为O，圆的半径为r，OM的长为d。
根据勾股定理有：AB^2=AM^2+BM^2；
BC^2=BM^2+CM^2；
CD^2=CM^2+DM^2；
DA^2=DM^2+AM^2。
四式相加得：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AM^2+CM^2+BM^2+DM^2)
=2[(AC^2)-2AM*CM]+2[(BD^2)-2BM*DM]
=2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]。
根据相交弦定理有AM*CM=BM*DM=(r+OM)(r-OM)=r^2-OM^2=r^2-d^2为定值；
又分别设圆心O到弦AC，BD的距离为L1，L2。
则AC^2=4[r^2-(L1)^2]；BD^2=4[r^2-(L2)^2]，
故AC^2+BD^2=4[2r^2-(L1)^2-(L2)^2]。且根据勾股定理得(L1)^2+(L2)^2=OM^2=d^2，
所以AC^2+BD^2=4(2r^2-d^2)为定值；
∴2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]=2*4(2r^2-d^2)-4*(r^2-d^2)=12r^2-4d^2为一定值。证毕#
再答：可否采纳？

如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交于点O,证明,AB²+CD²=BC²+AD² 已知AB+BD=AC+CD,AD⊥BC 证明AB=AC 如图,梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,AC⊥BD,设梯形ABCD面积为a²求梯形高已知三角形ABC中,AB =4,AC=3,AD⊥BC且AD²=BD*CD,求BC 在四面体A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,证明AD⊥BC 勾股：已知,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点.求证：AB²-AD²=BD×CD 已知在三角形ABC中,AB＞AC,AD是BC边上的高,求证AB²-AC²=BC(BD-CD) 用向量方法证明：已知四面体ABCD,若AB⊥CD,AD⊥BC,则AC⊥BD. a b c d ∈r＋证明(ad+bc)/bd+(ab+cd)/ac≥4 已知如图,在△ABC中,AB＞AC,AD为BC边上的高,求证：AB²-AC²=BC*(BD-DC) 如图,梯形abcd中,ad‖bc,对角线ac⊥bd于o,试判断ab+cd与ad+bc的大小,并证明已知,如图,在三角形abc中,ab=ac,d为bc上任意一点,试证明:ab^2-ad^2=bd乘cd