作业帮 > 数学 > 作业

∑(-1)^n-1(1/n)为什么是条件收敛

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 02:08:03
∑(-1)^n-1(1/n)为什么是条件收敛
如果级数Σun收敛,而Σ∣un∣发散,则称级数Σun条件收敛.如果级数Σun  与 Σ∣un∣ 都收敛.则称级数Σun 绝对收敛.∑|(-1)^n-1(1/n)|=∑(1/n)调和级数发散∑(-1)^n-1(1/n)交错级数 收敛证明:对于任意的m,n属于正整数,m>n 
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+.+[(-1)^(m+1)]/m  
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+.+[(-1)^(m+1)]/m   <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+.+1/(m-1)m   =(1/n-1/m)→0 
由柯西收敛原理得{xn}收敛  
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+.+[(-1)^(m+1)]/m    <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+.+1/(m-2)(m-1)-1/m 
=(1/n-1/(m-1)-1/m)→0 
由柯西收敛原理得{xn}收敛  
综上{xn}收敛,即{xn}存在极限