A是m×n矩阵,r(A)=m

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 00:35:13

A是m×n矩阵,r(A)=m

知识点: 若A是实矩阵, 则 r(A^TA) = r(A).
证明方法: 齐次线性方程组 AX=0 与 A'AX=0 同解.
证明: 记A'=A^T
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0
所以X1是A'AX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.
(2)设X2是A'AX=0的解, 则A'AX2=0
等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0
所以有 (Ax2)'(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A'AX=0的解是AX=0的解.
(3) 综合(1)(2)知齐次线性方程组AX=0与A'AX=O是同解方程组.
故它们的基础解系所含向量的个数相同, 即有 n-r(A) = n-r(A'A)
所以 r(A)=rA'A)
再问：好复杂。这个 r(A^TA) = r(A)考试的时候可以当做结论用吧？
再答：看起来多, 其实不复杂, 关键是(2) 一般可以直接用, 但让证明这个时, 就不能用了

设A是m*n矩阵,且R(A)=r,则当r=m,r=n,m=n,r A是m*n矩阵则r(A)=r(A^TA) 怎么证明若A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,若AB=0,则r(A)+r(B) 设A为m×n阶矩阵,B是n×m矩阵,则r(AB)是设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B). 设A是m*n实矩阵,若r（ATA)=5,则r(A)= 设A是m*n矩阵,证明:r(A)=r的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, A是m*n的矩阵,B是n*m的矩阵,证明r(Em-AB)+n=r(En-BA)+m A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:R(E-AB)+n=R(E-BA)+m.急救中设非零矩阵A是m*s矩阵,B是s*n矩阵满足AB=0,则R(A) 考研数学三：线性代数矩阵和秩的问题设A是m*n矩阵,r(A)=m 设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)