（2003•东城区二模）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1与AB的中点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 04:34:04

（2003•东城区二模）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为C₁D₁与AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线BD₁，与CF所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A₁-FC-D的大小．

（Ⅰ）设正方体的棱长为1，延长DC至G，使CG＝
1
2DC，连结BG，D₁G．
∵FB∥GC，FB=GC
∴四边形FBGC是平行四边形．
∴BG∥FC．
∴∠D₁BG就是异面直线BD₁与CF所成的角．（3分）
在△D₁BG中，D1B＝
3，BG＝

5
2，D1G＝
12+(
3
2)2＝

13
2，
∴cos∠D1BG＝
D1B2+BG2−D1G2
2D1B•BG＝
3+
5
4−
13
4
2×

15
2＝

15
15．
即异面直线BD₁与CF所成角的余弦值是

15
15．（6分）
（Ⅱ）过A₁作A₁H⊥CF，交CF的延长线于H．连结AH．∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AH是A₁H在平面ABCD内的射影
∴AH⊥CH．（8分）
则∠A₁HA为二面角A₁---FC---D的平面角．（9分）

底面ABCD如图所示．
由于∠AHF=∠B=90°，∠AFH=CFB，
则△AHF～△CBF．
∴
AH
CB＝
AF
CF．
∴CF＝

5
2，AF＝
1
2，
∴AH＝
CB•AF
CF＝
1•
1
2

5
2＝
1

5．(11分)
在Rt△A₁AH中，A1A＝1，AH＝
1

5，
∴tan∠A1HA＝
A1A
AH＝
5．
则二面角A₁-FC-D的大小为arctg
5．（13分）

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是AB、C1D1的中点．如图,在正方形ABCD－A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为棱AB,CC1,C1D1的中点. （2010•扬州二模）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点,求证：EF//平面BB1D1D 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AB,BC,C1D1,A1D1的中点,O为AC与BD的交点,求如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．（2013•普陀区二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1B、DC的中点．如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1、B1C1、C1D1的中点,有图的如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是__ 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AD、AB的中点．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、C1D1的中点,求证四边形A1ECF是菱形如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D．