常微分方程题.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 08:23:17

常微分方程题.

全微分方程Mdx+Ndy=0
表示
dM/dy=dN/dx
M=(3x^3-2f(x))y
N=-(x^2f'(x)+siny)
所以
3x^3-2f(x)=-[2xf'(x)+x^2f''(x)]
x^2f''(x)+2xf'(x)-2f(x)=3x^3
欧拉微分方程
先看齐次解
x^2f''+2xf'-2f=0
f=x^r,^r表示r次方
r(r-1)+2r-2=0
r^2+r-2=0
r=-2,1
y=A x^(-2)+B x
然后非齐次解
f=ax^3+bx^2+cx+d
f'=3ax^2+2bx+c
f''=6ax+2b
代入
x^2f''(x)+2xf'(x)-2f(x)=3x^3
(6a+6a-2a)x^3+(2b+4b-2b)x^2+(2c-2c)x-2d=3x^3
所以
10a=3
4b=-2d=0
a=3/10
所以y=A x^(-2)+B x + (3/10)x^3

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