如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 10:27:00

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=a

（Ⅰ）求证：AD⊥B₁D；
（Ⅱ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求三棱锥C-AB₁D的体积．

（Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴BD是B₁D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B₁D．
（Ⅱ）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵AA₁=AB∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．（7分）
∵DE⊂平面AB₁D，A₁C⊄平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）由图知VC−AB1D＝VB1−ADC，AA₁=AB=a，
∴VC−AB1D＝VB1−ADC=
1
3S_△ADCBB₁=

3
24a3．

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA1=3．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ABC=90度,AB=BC=AA1=2,D是AB的中点. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点 (2012海南数学)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=1/2AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD 正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=2,AA1=根号6,D,E分别是 AA1,B1c1的中点,求直线A1B1与平面BC （2011•江苏二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E为如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是棱CC1,AB的中点正三棱柱ABC-A1B1C1 中D为CC1的中点 AB=AA1 证明BD垂直AB1 如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,（1）求证BC1垂直EC,（2）求二面角A-B- 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC,AB垂直BC,D为AC的中点,AA1=AB=2,BC=3 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.（Ⅰ）求证AC⊥BC