作业帮关于三角换元的值域求法
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 14:12:47
关于三角换元的值域求法
比如：求y=x+根号（1-x2）的值域.解答是令x=sinα -π/2≤α≤π/2……y=根号2×sin（α+π/4）
为什么α的范围是-π/2到π/2,如果设 π/2≤α≤π,那么结果就不一样了,弧度的范围到底怎么得到的啊?
比如：求y=x+根号（1-x2）的值域.解答是令x=sinα -π/2≤α≤π/2……y=根号2×sin（α+π/4）
为什么α的范围是-π/2到π/2,如果设 π/2≤α≤π,那么结果就不一样了,弧度的范围到底怎么得到的啊?
换元法,在换元前后,函数的定义域与值域要相互匹配的
对原函数y=x+√(1-x^2),其定义域为1-x^2≥0,即-1≤x≤1
若取π/2≤α≤π,则0≤x=sinα≤1,与原定义域不符
当取-π/2≤α≤π/2,则-1≤x=sinα≤1,与原定义域相符
而在换元之后,y=sinα+√(1-sin²α)=sinα+|cosα|
而取-π/2≤α≤π/2,也可保证0≤cosα≤1,可直接去掉绝对值,免去讨论的麻烦
故y=sinα+cosα=√2sin(α+π/4),值域为[-1,√2]
当然你也可以取-π/2+2kπ≤α≤π/2+2kπ,(k∈Z)的任意值,
不过最简单的就是-π/2≤α≤π/2了
对原函数y=x+√(1-x^2),其定义域为1-x^2≥0,即-1≤x≤1
若取π/2≤α≤π,则0≤x=sinα≤1,与原定义域不符
当取-π/2≤α≤π/2,则-1≤x=sinα≤1,与原定义域相符
而在换元之后,y=sinα+√(1-sin²α)=sinα+|cosα|
而取-π/2≤α≤π/2,也可保证0≤cosα≤1,可直接去掉绝对值,免去讨论的麻烦
故y=sinα+cosα=√2sin(α+π/4),值域为[-1,√2]
当然你也可以取-π/2+2kπ≤α≤π/2+2kπ,(k∈Z)的任意值,
不过最简单的就是-π/2≤α≤π/2了