作业帮y''-y=xsinx y(0)=y'(0)=0
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 22:53:48
y''-y=xsinx y(0)=y'(0)=0
y''-y=xsinx y(0)=y'(0)=0
y''-y=xsinx y(0)=y'(0)=0
特征方程为r^2-1=0,得r=1,-1
设特解y*=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx
则y*'=asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx=(a-cx-d)sinx+(ax+b+c)cosx
y*"=-csinx+(a-cx-d)cosx+acosx-(ax+b+c)sinx=-(ax+b+2c)sinx+(-cx-d+2a)cosx
代入方程：-(ax+b+2c+ax+b)sinx+(-cx-d+2a-cx-d)cosx=xsinx
对比系数得：-2a=1,2b+2c=0,-2c=0,2a-2d=0
解得：a=-0.5,b=c=0,d=-0.5
所以通解为y=C1e^x+C2e^(-x)-0.5xsinx-0.5cosx
再问： 为什麼特解不是设y*=(ax^2+bx) cos x + (cx^2+dx) sin x ??
再答： 因为特征根不是i，-i。
设特解y*=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx
则y*'=asinx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)sinx=(a-cx-d)sinx+(ax+b+c)cosx
y*"=-csinx+(a-cx-d)cosx+acosx-(ax+b+c)sinx=-(ax+b+2c)sinx+(-cx-d+2a)cosx
代入方程：-(ax+b+2c+ax+b)sinx+(-cx-d+2a-cx-d)cosx=xsinx
对比系数得：-2a=1,2b+2c=0,-2c=0,2a-2d=0
解得：a=-0.5,b=c=0,d=-0.5
所以通解为y=C1e^x+C2e^(-x)-0.5xsinx-0.5cosx
再问： 为什麼特解不是设y*=(ax^2+bx) cos x + (cx^2+dx) sin x ??
再答： 因为特征根不是i，-i。