特殊三角形问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 00:16:18

请老师详细解答，谢谢！

解题思路：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；（3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论．
解题过程：
解：
（1）45；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，∴△AEB是等边三角形，∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，∴EC=5．∴BD=5．
（3）∠DAC=2∠ABC成立，证明如下：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²．
∵BD²=4AH²+BC²，∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH．
∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形．∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD．∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD．即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，∴∠ABC=90°-∠EBA．
∵AB=AE，∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°-2∠EBA．∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．

最终答案：略

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