作业帮求解高数题!98江苏竞赛
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 02:22:46
求解高数题!98江苏竞赛
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,f (0) = f (1),求证：存在ξ∈（0,1),使得2 f '(ξ)+(ξ-1) f′′(ξ)=0
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,f (0) = f (1),求证：存在ξ∈（0,1),使得2 f '(ξ)+(ξ-1) f′′(ξ)=0
令F(x)=(x-1)^2×f'(x),由题意,F(x)在[0,1]上连续可导.
在[0,1]上对f(x)使用罗尔中值定理,存在η∈(0,1),使得f'(η)=0.
在[η,1]对上由F(x)使用罗尔中值定理,存在ξ∈(η,1),使得F'(ξ)=0.
F'(x)=2(x-1)f'(x)+(x-1)^2f''(x).
所以2(ξ-1)f'(ξ)+(ξ-1)^2f''(ξ)=0,因为ξ≠1,所以2f'(ξ)+(ξ-1)f''(ξ)=0.
在[0,1]上对f(x)使用罗尔中值定理,存在η∈(0,1),使得f'(η)=0.
在[η,1]对上由F(x)使用罗尔中值定理,存在ξ∈(η,1),使得F'(ξ)=0.
F'(x)=2(x-1)f'(x)+(x-1)^2f''(x).
所以2(ξ-1)f'(ξ)+(ξ-1)^2f''(ξ)=0,因为ξ≠1,所以2f'(ξ)+(ξ-1)f''(ξ)=0.