无理数做周期的信号,为什么序列不具备周期性?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 05:58:33

你的叙述是有问题的,比如f(x)=sinx,以2pi为周期,周期显然是无理数.
我估计你想问的是这个问题,
对于给定常数a,满足a/pi是无理数,那么离散序列(定义在整数集上的函数) f(n)=sin(a*n+c)没有周期性.
这个是一个数论问题,牵涉到很多背景,比较快捷的证明方法是直接利用Dirichlet逼近定理.
再问：举个例子问你吧！f(k)=cos(1/5*k+3);问题是：这个是否为周期性的，说明原因！
再答：如果k是实数当然是有周期性的，如果k是整数就没有周期性，直接用和差化积验证f(k+n)-f(k)非零即可。刚才告诉你的Dirichlet逼近定理其实是用来说明f(k)在[-1,1]稠密的，如果是周期序列则最多只有有限个点。
再问： ???整数不属于实数？ 2pi/（1/5) 为无理数时，该序列应该不具有周期性，但其值的包络线仍为正弦函数。这句话怎么解释？
再答： "如果k是实数……如果k是整数……" 这里前一句的意思是k可以取任意实数，而后一句是说k只允许取整数。当k取整数的时候，所谓的“包络线仍为正弦函数”是不太严谨的讲法，只能说正弦函数可以通过这些离散点。

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