作业帮线性代数 关于秩=m则线性相关,有一疑问
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 13:25:58
线性代数 关于秩=m则线性相关,有一疑问
图1是4×3矩阵,那说明这个向量组组成的矩阵中的向量组是线性无关的,是矩阵秩小于4还是小于3?
图2是参考书上的定理,但是书上没写A是n×n,还是m×n什么矩阵,就直接A秩小于n,那到底碰到m×n矩阵,是让秩小于m还是n?为什么?
图1是4×3矩阵,那说明这个向量组组成的矩阵中的向量组是线性无关的,是矩阵秩小于4还是小于3?
图2是参考书上的定理,但是书上没写A是n×n,还是m×n什么矩阵,就直接A秩小于n,那到底碰到m×n矩阵,是让秩小于m还是n?为什么?
考虑方程组Ax=0的解时,比较秩(A)与未知量个数也就是A的列数n的大小,定理中的n就是未知量个数,也是系数矩阵A的列数.
若A是m×n矩阵,秩(A)＜n,则A的列向量组线性相关；秩(A)=n,则A的列向量组线性无关.若秩(A)＜m,则A的行向量组线性相关；秩(A)=m,则A的行向量组线性无关.
题目中,α1,α2,α3都是列向量,可看作矩阵A=(α1,α2,α3)的列向量组,A是4×3矩阵,其秩(A)≤3,这时候可以得到A的行向量组线性相关,与题目要求无关.要想得到向量组α1,α2,α3的线性相关性,还要继续讨论秩(A)＜3还是秩(A)=3.
再问： 那么，秩（A）= m 时，行向量线性无关，也那么可以说方程AX=0 只有零解吗？
再答： 未必，Ax=0是不是只有零解是比较A的秩与列数n的关系，秩A=n时，Ax=0只有零解，或者说，A的列向量组线性无关时，Ax=0只有零解。
若A是m×n矩阵,秩(A)＜n,则A的列向量组线性相关；秩(A)=n,则A的列向量组线性无关.若秩(A)＜m,则A的行向量组线性相关；秩(A)=m,则A的行向量组线性无关.
题目中,α1,α2,α3都是列向量,可看作矩阵A=(α1,α2,α3)的列向量组,A是4×3矩阵,其秩(A)≤3,这时候可以得到A的行向量组线性相关,与题目要求无关.要想得到向量组α1,α2,α3的线性相关性,还要继续讨论秩(A)＜3还是秩(A)=3.
再问： 那么，秩（A）= m 时，行向量线性无关，也那么可以说方程AX=0 只有零解吗？
再答： 未必，Ax=0是不是只有零解是比较A的秩与列数n的关系，秩A=n时，Ax=0只有零解，或者说，A的列向量组线性无关时，Ax=0只有零解。
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