作业帮第3题怎么做?立体几何
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 15:47:23
第3题怎么做?立体几何
二面角的大小为30°.
记P到棱l的垂线的垂足是H,P到平面β的垂线足是Q,连接QH,
因为PH是平面β的斜线,QH是PH在平面β内的射影,PH⊥棱l,据三垂线定理的逆定理知QH⊥棱l..
根据二面角的平面角的定义,二面角的大小等于∠PHQ..
因为PQ=PH/2,所以∠PHQ=30°,故α-l-β的大小等于30°
再问： 三垂线定理的逆定理 我的课本上和老师在课堂上没提过，能不能用其他方法证明QH⊥棱l？ PQ=PH/2，也就是PQ:PH=1:2吧，∠PHQ为什么=30°？ 我做的是：sin∠PHQ=PQ/PH=1/2=45°
再答：
左图。二面角α-l-β中,，∵PQ⊥平面β,，∴PQ⊥QH, PQ⊥棱l，(直线垂直于平面的性质)∵PH⊥棱l，PQ⊥棱l，∴棱l⊥平面PQH,，（直线垂直于平面的判定）那么，棱l⊥QH,；又，PH⊥棱l，∴∠PHQ是二面角α-l-β的平面角。右图是直角三角形PQH详图，已知∠PQH=90°,，PQ=(1/2)PH,，取PH的中点M,，连接QM，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴QM=PM=PQ=(1/2)PH,，⊿PQM是等边三角形，∠P=60°,，∠PHQ=30°.。
记P到棱l的垂线的垂足是H,P到平面β的垂线足是Q,连接QH,
因为PH是平面β的斜线,QH是PH在平面β内的射影,PH⊥棱l,据三垂线定理的逆定理知QH⊥棱l..
根据二面角的平面角的定义,二面角的大小等于∠PHQ..
因为PQ=PH/2,所以∠PHQ=30°,故α-l-β的大小等于30°
再问： 三垂线定理的逆定理 我的课本上和老师在课堂上没提过，能不能用其他方法证明QH⊥棱l？ PQ=PH/2，也就是PQ:PH=1:2吧，∠PHQ为什么=30°？ 我做的是：sin∠PHQ=PQ/PH=1/2=45°
再答：
左图。二面角α-l-β中,，∵PQ⊥平面β,，∴PQ⊥QH, PQ⊥棱l，(直线垂直于平面的性质)∵PH⊥棱l，PQ⊥棱l，∴棱l⊥平面PQH,，（直线垂直于平面的判定）那么，棱l⊥QH,；又，PH⊥棱l，∴∠PHQ是二面角α-l-β的平面角。右图是直角三角形PQH详图，已知∠PQH=90°,，PQ=(1/2)PH,，取PH的中点M,，连接QM，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴QM=PM=PQ=(1/2)PH,，⊿PQM是等边三角形，∠P=60°,，∠PHQ=30°.。