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证明a^3*b-b^3*a,a^3*c-a*c^3,b^3*c-b*c^3 其中有一个一定是10的倍数

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 19:48:59
证明a^3*b-b^3*a,a^3*c-a*c^3,b^3*c-b*c^3 其中有一个一定是10的倍数
首先分别将三个式子提取公因式,然后作平方差公式,化简为：
ab(a+b)(a-b)
ac(a+c)(a-c)
bc(b+c)(b-c)
要证明是10的倍数,只需要证明是2和5的倍数即可.
对于ab(a+b)(a-b),讨论a和b的奇偶性.
a,b只要有一个偶数,则乘积为偶数,ab若都为奇数,则(a+b)和(a-b)为偶数,乘积也是偶数.
所以它一定是2的倍数.
假设a,b,c均不为5的倍数.要使上述三个乘积不为5的倍数,首先应当保证a,b,c除以5的余数不同,否则(a-b),(a-c),(b-c)会成为5的倍数.【a,b,c余数相同的两个相减即可整除5】
那么a,b,c三者除以5的余数可以是1,2,3,4中的任意三个.
由于存在着2+3=5,1+4=5.所以在1,2,3,4中选出3个的话,必然存在两个之和能够被5整除.
也就是(a+b),(a+c),(b+c)必然存在至少一个能被5整除.
综上,原三个多项式至少有一个一定是10的倍数.
我写的可能不够书面,做题的话可以把语句写得更规范些.
不理解就追问,理解了请采纳!
设a,b,c是自然数,a+b+c=13,那么a-b,b-c,c-a中有几个是3的倍数. a＾3/(a-b)(a-c)+b＾3/(b-c)(b-a)+c＾3/(c-a)(c-b) =a+b+c 证明 化简：|a+b|+|b+c|-|a-c|+3|c-b| 证明:8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3=3(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+ 对于正整数a、b、c多项式6A-B+2C是9的倍数,试说明多项式3a+10b-2c也是9的倍数 (a-b)(b-c)(c-a)/(b-a)(a-c)2(c-b)3 a/b+b/c+c/a+3（abc）^（1/3）/a+b+c>=4证明上面不等式成立,其中a.b.c都是正实数. 下列各式能利用平方差公式计算的是?A.(a-b-c)(a-b-c) B.(a+b-c)(-a-b+c) C.(3m-n+ 已知a,b,c是不全相等的正数,求证（b+c-a)/a + (c+a-b)/b + (a+b-c)/c >3 用反证法证明 若a b c 为一组勾股数 则（1）a b c中至少有一个数为3的倍数（2）a b c中至少有一个数为5的 已知a,b,c是不全相等的正数.证明：(a^2b+b^2a)(a^2c+c^2a)(b^2c+c^2b)>8a^3b^3 a b c是3条直线 而且a//b b//c 则a//c