作业帮抛物线的一证明题（简易）.急
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 13:01:53
抛物线的一证明题（简易）.急
过抛物线y^2=4ax的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两交点的纵坐标为y1,y2.求证y1 x y2 = -4a^2
过抛物线y^2=4ax的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两交点的纵坐标为y1,y2.求证y1 x y2 = -4a^2
证法一：
由已知,此抛物线的焦点坐标为（a,0),
从而可设过焦点的直线为
y=kx-ka
设此抛物线与直线的两个交点的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)
于是有
y1=kx1-ka
y2=kx2-ka
从而y1y2=(kx1-ka)(kx2-ka)=k²x1x2-ak²(x1+x2)+k²a² ①
并且可知,x1,x2是下面方程的两个根：
（kx-ka）²=4ax
整理得
k²x²-(2ak²+4a)x+k²a²=0
由韦达定理,我们知道
x1+x2=(2ak²+4a)/k² ②
x1x2=a² ③
把②,③代入①得
y1y2=k²x1x2-ak²(x1+x2)+k²a²
=k²a²-2a²k²-4a²+k²a²
=-4a² 这就是我们要证明的.完.
证法二：
我们重新建立一个坐标系.使新坐标系的x轴正方向为原y轴的正方向,新坐标系的y轴正方向为原x轴的正方向.从而在新的坐标系里,原抛物线的方程变为
x²=4ay
它的焦点坐标为（0,a)
直线与抛物线的两个交点的纵坐标在新的坐标系里变成了横坐标x1,x2
从而我们要证明的变成了
x1x2=-4a²
因为直线经过点（0,a),所以可设此直线的方程为
y=kx+a
易知,x1,x2是下面方程的两个根：
x²=4a(kx+a)
整理得
x²-4akx-4a²=0
于是,显然有
x1x2=-4a² 证完.
由已知,此抛物线的焦点坐标为（a,0),
从而可设过焦点的直线为
y=kx-ka
设此抛物线与直线的两个交点的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)
于是有
y1=kx1-ka
y2=kx2-ka
从而y1y2=(kx1-ka)(kx2-ka)=k²x1x2-ak²(x1+x2)+k²a² ①
并且可知,x1,x2是下面方程的两个根：
（kx-ka）²=4ax
整理得
k²x²-(2ak²+4a)x+k²a²=0
由韦达定理,我们知道
x1+x2=(2ak²+4a)/k² ②
x1x2=a² ③
把②,③代入①得
y1y2=k²x1x2-ak²(x1+x2)+k²a²
=k²a²-2a²k²-4a²+k²a²
=-4a² 这就是我们要证明的.完.
证法二：
我们重新建立一个坐标系.使新坐标系的x轴正方向为原y轴的正方向,新坐标系的y轴正方向为原x轴的正方向.从而在新的坐标系里,原抛物线的方程变为
x²=4ay
它的焦点坐标为（0,a)
直线与抛物线的两个交点的纵坐标在新的坐标系里变成了横坐标x1,x2
从而我们要证明的变成了
x1x2=-4a²
因为直线经过点（0,a),所以可设此直线的方程为
y=kx+a
易知,x1,x2是下面方程的两个根：
x²=4a(kx+a)
整理得
x²-4akx-4a²=0
于是,显然有
x1x2=-4a² 证完.