设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M⇔N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（　　）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 08:08:44

设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M⇔N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（　　）
A. F（x）是偶函数⇔f（x）是奇函数
B. F（x）是奇函数⇔f（x）是偶函数
C. F（x）是周期函数⇔f（x）是周期函数
D. F（x）是单调函数⇔f（x）是单调函数

方法一：任一原函数可表示为F(x)=
∫x0f(t)dt+C，且 F′（x）=f（x）
∵当F（x）为偶函数时，有F（-x）=F（x）
∴对上式等式两边同时求导，得到-F′（-x）=F′（x）
∴-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
反之，当f（x）为奇函数时，即f（-x）=-f（x）
∴对上式等式两边同时作变上限积分，得到
∫x0f(-t)dt=
-∫x0f(t)dt
令等式左边-t=u，dt=-du
将等式左边变形得到：
-∫-x0f(u)du
=-∫x0f(t)dt
∴
∫-x0f(t)dt
=∫x0f(t)dt
∴F（-x）=F（x），即F（x）为偶函数．
故选：A．
方法二：
先令f（x）=1，则取F（x）=x+1
∵f（x）=1是偶函数且为周期函数，但F（x）=x+1为非奇非偶函数且非周期函数
∴选项（B）、（C）不正确
∴排除（B）、（C）
再令f（x）=x，则取F(x)=
1
2x2
∵f（x）=x在x∈R内是增函数函数，而F(x)=
1
2x2在x∈R上是非单调函数
∴选项（D）不正确
∴排除（D）
故选：A．

微积分概念 1．设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则（）. 设f(x)是定义在（0,正无穷）上的增函数f(m/n)=f(m)-f(n),且f(4)=1,解关于x的不等式f(x)-f 设m,n属于R已知函数f(x)=log(-|x|+4）的定义域是[m,n],值域是[0,2],若关于x的方程设f（x）是定义在R上的函数,对mn（属于R）恒有f(m+n)=f(m).f(n)且当x＞0时,0＜f(x)＜1,f（0 设f（x）是定义在R上的函数,对任意m、n属于R恒有f（m+n）=f（m）*f（n）,且当x>时0 设函数f（X）的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,o 设f（x）是定义在（0,正无穷）上的增函数,对一切m,n∈（0,正无穷）,都有：f（m／n）=f（m）-f（n）,且f（设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切m,n∈（0,+∞）,都有：f(m/n)=f(m)－f(n),且f(4) 设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切m,n∈(0,+∞),都有f(m/n)=f(m)-f(n),且f（4）= 设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有恒有f(m+n)=f(m)×f(n),且x>0时设函数f(x)的定义域是（0,正无穷）对于任意的正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)> 设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0

设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M⇔N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（ ）

设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M⇔N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（　　）