作业帮如何判断这个集合是否是偏序集和是否是Boolean Algebra
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 09:29:12
如何判断这个集合是否是偏序集和是否是Boolean Algebra
集合S={1,3,4,12},定义 x*y=gcd(x,y) x.y=lcm(x,y) .其中lcm是最小公倍数操作,gcd是最小公约数操作.
求问,这个代数系统是否是Lattice（格）,是否是Boolean algebra（布尔代数）?我不知道那两个专有名词翻译过来是不是这样.
关于这道题,我很奇怪,定义一个东西是否是格,要先看它是否是偏序集,偏序集是有一个关系,但是这个集合定义的两个运算,这并不是一种关系吧?这样我们怎么确定集合元素之间的顺序问题.（最近在学抽象代数,是不是不能把这种关系理解为某个确定的关系,一定要抽象化?）如果把x*y这个最小公倍数运算理解为x并y,例如3并4,得出结果是12,所以3和4在某种关系下小于12.但是这里有两个运算,我怎么确定哪个运算当做并,哪个运算当做交?
我问题有点多,有点乱,
集合S={1,3,4,12},定义 x*y=gcd(x,y) x.y=lcm(x,y) .其中lcm是最小公倍数操作,gcd是最小公约数操作.
求问,这个代数系统是否是Lattice（格）,是否是Boolean algebra（布尔代数）?我不知道那两个专有名词翻译过来是不是这样.
关于这道题,我很奇怪,定义一个东西是否是格,要先看它是否是偏序集,偏序集是有一个关系,但是这个集合定义的两个运算,这并不是一种关系吧?这样我们怎么确定集合元素之间的顺序问题.（最近在学抽象代数,是不是不能把这种关系理解为某个确定的关系,一定要抽象化?）如果把x*y这个最小公倍数运算理解为x并y,例如3并4,得出结果是12,所以3和4在某种关系下小于12.但是这里有两个运算,我怎么确定哪个运算当做并,哪个运算当做交?
我问题有点多,有点乱,
格有两种定义,一种是由标准的运算性质定义的,相信你更喜欢另一种——由偏序集与两个元素的上下确界共同定义的——事实上,这两种定义是等价的.
于是,格上的运算可以诱导出对应的偏序关系,如图：
相信你看得懂,这里的first definition和second definition分别对应了基本定义和偏序集引申的定义,具体就不多说了.
回到你这个问题上来,检验一下不难发现(S,.,*)就是一个格——这你最好用标准定义,如果用第二定义就得清楚地定义一个偏序关系——正如你说的,“定义一个东西是否是格,要先看它是否是偏序集,偏序集是有一个关系,但是这个集合定义的两个运算,这并不是一种关系吧?”,这个偏序关系是诱导出来的,你不定义它,它自然就没有.我不清楚你现在学的是Universal Algebra还是Discrete Mathematics或是其他,但一般的书里对格的定义至少会有第一种标准定义,希望你再仔细看看.最后来看看Boolean Algebra定义：
在S中代替0和1的分别是1和12,检验一下不难发现B1,B2,B3都是满足的,所以(S,.,*,1,12)就是一个Boolean Algebra.
再问： 恩。大概明白。就是还有一个问题，定义在那个set的两个操作，哪个对应join（并），meet（交），是不是没有关系的，只是画出来的图上下颠倒而已？
再答： 格上的两种运算只要存在即可，，，换句话说，只要这两个运算某一个对应能够形成格那就是格，不要求对任意一个对应都满足格的定义。就像群一样，只要你能指定一种运算满足群的定义，那其上即使还有其他运算也没关系，因为对于一个群而言，你不会考虑其他运算。
这个问题中，gcd就是meet，lcm就是join，已经足以成为格了，你如果非要反过来也没问题，逆向的偏序依然是偏序。
于是,格上的运算可以诱导出对应的偏序关系,如图：
相信你看得懂,这里的first definition和second definition分别对应了基本定义和偏序集引申的定义,具体就不多说了.回到你这个问题上来,检验一下不难发现(S,.,*)就是一个格——这你最好用标准定义,如果用第二定义就得清楚地定义一个偏序关系——正如你说的,“定义一个东西是否是格,要先看它是否是偏序集,偏序集是有一个关系,但是这个集合定义的两个运算,这并不是一种关系吧?”,这个偏序关系是诱导出来的,你不定义它,它自然就没有.我不清楚你现在学的是Universal Algebra还是Discrete Mathematics或是其他,但一般的书里对格的定义至少会有第一种标准定义,希望你再仔细看看.最后来看看Boolean Algebra定义：
在S中代替0和1的分别是1和12,检验一下不难发现B1,B2,B3都是满足的,所以(S,.,*,1,12)就是一个Boolean Algebra. 再问： 恩。大概明白。就是还有一个问题，定义在那个set的两个操作，哪个对应join（并），meet（交），是不是没有关系的，只是画出来的图上下颠倒而已？
再答： 格上的两种运算只要存在即可，，，换句话说，只要这两个运算某一个对应能够形成格那就是格，不要求对任意一个对应都满足格的定义。就像群一样，只要你能指定一种运算满足群的定义，那其上即使还有其他运算也没关系，因为对于一个群而言，你不会考虑其他运算。
这个问题中，gcd就是meet，lcm就是join，已经足以成为格了，你如果非要反过来也没问题，逆向的偏序依然是偏序。