在(1-x^2)(1+2x^2)^12的展开式中,x^8的系数是?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 12:28:19

在(1-x^2)(1+2x^2)^12的展开式中,x^8的系数是?
正确答案是6160

二项式展开的公式你是否知道?
(a + b)^n = C(n,0) * a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + …… + C(n,m)a^(n-m)b^m + …… + C(n,n)b^n
因此
(1 + 2x^2)^12
= 1 + C(12,1) * (2x^2) + C(12,2)(2x^2)^2 + C(12,3)(2x^2)^3 + C(12,4)(2x^2)^4 + C(12,5)(2x^2)^5 + ……
其中 x^6 项的系数是
C(12,3) * 2^3 = [12*11*10/(3*2*1)]*8 = 220*8
x^8 项的展开系数是
C(12,4) * 2^4 = [12*11*10*9/(4*3*2*1)]*16 = 990*8
(1 + 2x^2)^12 的展开式与 (1 -x^2) 相乘,则 x^8 项系数为
990*8 - 220*8 = 770*8 = 6160
本题目需要具备二项式展开的基础知识,并了解 C(n,m) = n!/[(n-m)!m!]
!表示阶乘,例如 5!= 5*4*3*2*1
如果这些基础知识不具备,那么本题目比较难

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