作业帮一道高二数学体,高手进
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 09:42:15
一道高二数学体,高手进
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在（0,1）上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.
（1）求b的值
（2）求f（2）的取值范围
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f（x）的图像交点个数的情况,并说明理由.
求解求过程
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在（0,1）上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.
（1）求b的值
（2）求f（2）的取值范围
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f（x）的图像交点个数的情况,并说明理由.
求解求过程
1.
f'(x)=-3x^2+2ax+b
因为函数在(-∞,0)上是减函数,在（0,1）上是增函数
故0是f'(x0)的一个零点
f'(0)=b=0
2.
f(x)=-x^3+ax^2+c
f(1)=-1+a+c=0
a+c=1
函数在（0,1）上是增函数
说明f'(x)=-3x^2+2ax的另外一个根不小于1
2a/3≥1
f(2)=-8+4a+c
=-8+(a+c)+3a
=-7+3a≥-5/2
3.
直线也经过点(1,0),这是一个交点
f'(1)=2a-3
当3/2≤a≤5/2时,斜率f'(1)≤1总共只有1个交点
当a>6/2时,斜率>1,总共有3个交点.
如果认为讲解不够清楚,
再问： 第三题的思路是什么
再答： 思路是看f(x)在(1,0)点的斜率。 如果在这个点的斜率小于1，那么在x>0的区域上，f(x)都在直线的下方，而在x0的区域，f(x)的图像会先出现在直线的上方，在x->+∞时 f(x)->-∞,而直线->+∞，也就是说最终f(x)在直线下方，于是在x>0上有一个交点。 x
f'(x)=-3x^2+2ax+b
因为函数在(-∞,0)上是减函数,在（0,1）上是增函数
故0是f'(x0)的一个零点
f'(0)=b=0
2.
f(x)=-x^3+ax^2+c
f(1)=-1+a+c=0
a+c=1
函数在（0,1）上是增函数
说明f'(x)=-3x^2+2ax的另外一个根不小于1
2a/3≥1
f(2)=-8+4a+c
=-8+(a+c)+3a
=-7+3a≥-5/2
3.
直线也经过点(1,0),这是一个交点
f'(1)=2a-3
当3/2≤a≤5/2时,斜率f'(1)≤1总共只有1个交点
当a>6/2时,斜率>1,总共有3个交点.
如果认为讲解不够清楚,
再问： 第三题的思路是什么
再答： 思路是看f(x)在(1,0)点的斜率。 如果在这个点的斜率小于1，那么在x>0的区域上，f(x)都在直线的下方，而在x0的区域，f(x)的图像会先出现在直线的上方，在x->+∞时 f(x)->-∞,而直线->+∞，也就是说最终f(x)在直线下方，于是在x>0上有一个交点。 x