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设C为包围住原点的任意光滑简单闭曲线,则I=∮(-ydx+xdy)/(x²+y²),怎...

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 21:43:39
设C为包围住原点的任意光滑简单闭曲线,则I=∮(-ydx+xdy)/(x²+y²),怎...
设C为包围住原点的任意光滑简单闭曲线,则I=∮(-ydx+xdy)/(x²+y²),怎么算I等于2pai
应该是
必须加一个条件是逆时针积分.
假设有闭曲线C1围绕原点,则可构造一圆C,使圆C完全位于C1内部,再以任意曲线连接C与C1上任意两点A、B,则曲线C、C1、AB构成了一个闭合回路G
有P=-y/(x^2+y^2),Q=x/(x^2+y^2),所以∂P/∂y=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2,∂Q/∂x=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2,即∂P/∂y=∂Q/∂x
根据格林公式可知,∮G(-ydx+xdy)/(x²+y²)=0,即
∮C1(-ydx+xdy)/(x²+y²)+∮BA(-ydx+xdy)/(x²+y²)+∮C-(-ydx+xdy)/(x²+y²)+∮AB(-ydx+xdy)/(x²+y²)=0
并且注意到∮BA(-ydx+xdy)/(x²+y²)=-∮AB(-ydx+xdy)/(x²+y²)
∮C-(-ydx+xdy)/(x²+y²)=-∮C(-ydx+xdy)/(x²+y²)
所以有∮C(-ydx+xdy)/(x²+y²)=∮C1(-ydx+xdy)/(x²+y²)
且易证∮C(-ydx+xdy)/(x²+y²)=2π,有关图及步骤如下: