作业帮怎样证明二次函数的单调性 解例题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 04:47:32
怎样证明二次函数的单调性 解例题
证明y=-(x-2)²+4是增 、减函数.求证明过程.是否非要设x1 ＜x2?
证明y=-(x-2)²+4是增 、减函数.求证明过程.是否非要设x1 ＜x2?
∵y＝－（x－2）^2＋4,求导数,得：y′＝－2（x－2）（x－2）′＝－2（x－2）.
显然,当x＞2时,y′＜0,当x＜2时,y′＞0.
∴函数在区间（－∞,2）上是减函数,在区间（2,＋∞）上是增函数.
再问： 这样就算证明？不用再设x1 ＜x2，再证明了？
再答： 这是一种方法。 设x1＜x2的方法也是可以的。下面就给出证明过程： ［证明］ 引入自变量x1＜x2。则： ［－（x1－2）^2＋4］－［－（x2－2）^2＋4］ ＝（x2－2）^2－（x1－2）^2 ＝［（x2－2）＋（x1－2）］［（x2－2）－（x1－2）］ ＝（x1＋x2－4）（x2－x1）。 ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0。 ∴当x1＋x2－4＜0时，函数是减函数，当x1＋x2－4＞0时，函数是增函数。 很明显： 当x1＜x2＜2时，x1＋x2＜4，∴此时x1＋x2－4＜0，∴函数在（－∞，2］上是减函数。 当2＜x1＜x2时，x1＋x2＞4，∴此时x1＋x2－4＞0，∴函数在［2，＋∞）上是增函数。
显然,当x＞2时,y′＜0,当x＜2时,y′＞0.
∴函数在区间（－∞,2）上是减函数,在区间（2,＋∞）上是增函数.
再问： 这样就算证明？不用再设x1 ＜x2，再证明了？
再答： 这是一种方法。 设x1＜x2的方法也是可以的。下面就给出证明过程： ［证明］ 引入自变量x1＜x2。则： ［－（x1－2）^2＋4］－［－（x2－2）^2＋4］ ＝（x2－2）^2－（x1－2）^2 ＝［（x2－2）＋（x1－2）］［（x2－2）－（x1－2）］ ＝（x1＋x2－4）（x2－x1）。 ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0。 ∴当x1＋x2－4＜0时，函数是减函数，当x1＋x2－4＞0时，函数是增函数。 很明显： 当x1＜x2＜2时，x1＋x2＜4，∴此时x1＋x2－4＜0，∴函数在（－∞，2］上是减函数。 当2＜x1＜x2时，x1＋x2＞4，∴此时x1＋x2－4＞0，∴函数在［2，＋∞）上是增函数。