满足|y+z|^2011+|z+x|^2011+|x+y|^2012=2的整数数组(x、y、z)有( )组?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 20:41:28
满足|y+z|^2011+|z+x|^2011+|x+y|^2012=2的整数数组(x、y、z)有( )组?
一、证明:|y+z|、|z+x|、|x+y|中至少有一者为0.
∵x、y、z都是整数,
∴当|y+z|、|z+x|、|x+y|都不为0时,|y+z|≧1、|z+x|≧1、|x+y|≧1.
显然无法满足原方程.
∴|y+z|、|z+x|、|x+y|中至少有一者为0.
二、证明:|y+z|、|z+x|、|x+y|中只能有一者为0.
显然不可能|y+z|、|z+x|、|x+y|都为0.
当|y+z|、|z+x|、|x+y|中有两者为0时,
不失一般性,设|y+z|=|z+x|=0,得:x=-z、y=-z,∴x=y,
原方程就是|2x|^2012=2.这明显是不成立的.
∴|y+z|、|z+x|、|x+y|中只能有一者为0.
三、证明:|y+z|、|z+x|、|x+y|中没有一者大于或等于2.
显然,若|y+z|、|z+x|、|x+y|中有一者≧2,
则:|y+z|^2012+|z+x|^2012+|x+y|^2012≧2^2012>2.原方程不成立.
∴|y+z|、|z+x|、|x+y|中没有一者大于或等于2.
综上所述,得:|y+z|、|z+x|、|x+y|中有一者为0,另两者为1.
由|y+z|=0、|z+x|=|x+y|=1.
∴|y+z|^2012+|z+x|^2012+|x+y|^2012
=|z+x|+|x+y|
≧|z+x+x+y|
=|2x|,
∴|2x|≦2,∴|x|≦1,∴x=1,或x=-1,或x=0.
1、当x=1时,由|x+y|=1,得:y=0,∴|y+z|=|0+z|=0,∴z=0.
∴x=1、y=0、z=0是原方程的一组解.
2、当x=-1时,由|x+y|=1,得:y=0,∴|y+z|=|0+z|=0,∴z=0.
∴x=-1、y=0、z=0是原方程的一组解.
3、当x=0时,由|x+y|=1,得y=1,或y=-1,进而对应有:z=-1,或z=1.
∴x=0、y=1、z=-1和x=0、y=-1、z=1是原方程的两组解.
∴由|y+z|=0、|z+x|=|x+y|=1能得到四组解.
∵x、y、z轮换时,原方程不变,∴原方程共有12组解.
∵x、y、z都是整数,
∴当|y+z|、|z+x|、|x+y|都不为0时,|y+z|≧1、|z+x|≧1、|x+y|≧1.
显然无法满足原方程.
∴|y+z|、|z+x|、|x+y|中至少有一者为0.
二、证明:|y+z|、|z+x|、|x+y|中只能有一者为0.
显然不可能|y+z|、|z+x|、|x+y|都为0.
当|y+z|、|z+x|、|x+y|中有两者为0时,
不失一般性,设|y+z|=|z+x|=0,得:x=-z、y=-z,∴x=y,
原方程就是|2x|^2012=2.这明显是不成立的.
∴|y+z|、|z+x|、|x+y|中只能有一者为0.
三、证明:|y+z|、|z+x|、|x+y|中没有一者大于或等于2.
显然,若|y+z|、|z+x|、|x+y|中有一者≧2,
则:|y+z|^2012+|z+x|^2012+|x+y|^2012≧2^2012>2.原方程不成立.
∴|y+z|、|z+x|、|x+y|中没有一者大于或等于2.
综上所述,得:|y+z|、|z+x|、|x+y|中有一者为0,另两者为1.
由|y+z|=0、|z+x|=|x+y|=1.
∴|y+z|^2012+|z+x|^2012+|x+y|^2012
=|z+x|+|x+y|
≧|z+x+x+y|
=|2x|,
∴|2x|≦2,∴|x|≦1,∴x=1,或x=-1,或x=0.
1、当x=1时,由|x+y|=1,得:y=0,∴|y+z|=|0+z|=0,∴z=0.
∴x=1、y=0、z=0是原方程的一组解.
2、当x=-1时,由|x+y|=1,得:y=0,∴|y+z|=|0+z|=0,∴z=0.
∴x=-1、y=0、z=0是原方程的一组解.
3、当x=0时,由|x+y|=1,得y=1,或y=-1,进而对应有:z=-1,或z=1.
∴x=0、y=1、z=-1和x=0、y=-1、z=1是原方程的两组解.
∴由|y+z|=0、|z+x|=|x+y|=1能得到四组解.
∵x、y、z轮换时,原方程不变,∴原方程共有12组解.
1.满足|y+z|^1999+|z+x|^1999+|x+y|^2000=2的整数解有()组.2.方程(x+3)/(x+
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已知x,y,z满足方程组{x+y-z=6{y+z-x=2{z+x_y=0,求x,y,z的值
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