（2014•南昌一模）已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 07:53:43

（2014•南昌一模）已知函数f（x）=ax-bxlnx，其图象经过点（1，1），且在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x−1

（1）∵f（1）=1，
∴a=1，
∵f（x）=x-bxlnx，
∴f'（x）=1-b（1+lnx），
依题意f'（e）=1-b（1+lne）=3，
∴b=-1，
（2）由（1）知：f（x）=x+xlnx
当x＞1时，设g(x)＝
f(x)
x−1＝
x+xlnx
x−1，
则g′(x)＝
x−2−lnx
(x−1)2
设h（x）=x-2-lnx，
则h′(x)＝1−
1
x＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使h（x₀）=0，
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上为减函数；
同理g（x）在（x₀，+∞）上为增函数，从而g（x）的最小值为g(x0)＝
x0+x0lnx0
x0−1＝x0，
∴k＜x₀∈（3，4），k的最大值为3，
（3）由（2）知，当x＞1时，
f(x)
x−1＞3，
∴f（x）＞3x-3，
即x+xlnx＞3x-3，
xlnx＞2x-3
∴2ln2+3ln3+…+nlnn＞（2×2-3）+（2×3-3）+…+（2n-3）=2（2+3+…+n）-3（n-1）=2×
(n−1)
2(2+n)−3n+3=n²-2n+1=（n-1）²．

已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3 已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为自然对数的底数．已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x.在x=1处取得极小值,其图象过点A(0,1)0且在点A处切线的斜率为-1 已知函数f(x)＝axlnx−bx（x＞0，x≠1）的图象经过点(e，−1e)，且f（x）在x=e处的切线与x轴平行．函数 F（X）=x^3+ax^2+bx(a,b为R《全体实数》)的图象经过点P（1,2）,且在点P处的切线斜率为8. 已知函数f(x)-ax+xlnx的图像在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.（1）求实数a的值；（2）若函数已知函数F(X)=aX+XLNX的图象的点X=E(E为自然对数的底数)处的切线斜率为3 已知函数f（x）=e的x次方（ax+b）的图像在点p（0.f（0））处的切线方程y=3x+1（e为自然对数的底数）（1 设函数f(x)=ax+4/x,曲线y=f(x)在点p(1,a ,+4）处切线的斜率为-3,求已知曲线y=f(x)过点（0,1）在其任意一点（x,y）切线的斜率为2x+3e^x,那么f(x)= 已知函数f（x）＝ax的4次方+bx的2次方+c的图象经过点（0,1）,且在x＝1处的切线方程是y＝x－2,求f（x.. 若f（x）=ex+lnx，则此函数的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为______．