作业帮购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 13:51:54
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999104．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
由题意知
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10000人中出险的人数为ξ，
由题意知ξ～B（104，p）．
（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，
则
.
A发生当且仅当ξ=0，
P(A)＝1−P(
.
A)=1-P（ξ=0）=1-（1-p）104，
又P（A）=1-0.999104，
故p=0.001．
（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出10000ξ+50000，
盈利η=10000a-（10000ξ+50000），
盈利的期望为Eη=10000a-10000Eξ-50000，
由ξ～B（104，10-3）知，
Eξ=10000×10-3，
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104．
Eη≥0⇔104a-104×10-5×104≥0⇔a-10-5≥0⇔a≥15（元）．
∴每位投保人应交纳的最低保费为15元．
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，
记投保的10000人中出险的人数为ξ，
由题意知ξ～B（104，p）．
（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，
则
.
A发生当且仅当ξ=0，
P(A)＝1−P(
.
A)=1-P（ξ=0）=1-（1-p）104，
又P（A）=1-0.999104，
故p=0.001．
（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出10000ξ+50000，
盈利η=10000a-（10000ξ+50000），
盈利的期望为Eη=10000a-10000Eξ-50000，
由ξ～B（104，10-3）知，
Eξ=10000×10-3，
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104．
Eη≥0⇔104a-104×10-5×104≥0⇔a-10-5≥0⇔a≥15（元）．
∴每位投保人应交纳的最低保费为15元．
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