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为使关于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1(a∈R)的解集在R上为空集,则a的取值范围是(  )

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 02:30:02
为使关于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1(a∈R)的解集在R上为空集,则a的取值范围是(  )
A. (0,1)
B. (-1,0)
C. (1,2)
D. (-∞,-1)
不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1(a∈R)的解集在R上为空集⇔|x-1|+|x-2|>a2+a+1(a∈R)恒成立⇔a2+a+1<||x-1|+|x-2||min
因为|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,
所以||x-1|+|x-2||min=1,
所以a2+a+1<1,
解得:-1<a<0.
所以a的取值范围是(-1,0),
故选:B.