不等边△ABC内接于⊙O,I是其内心,且AI⊥OI． 求证：AB+AC=2BC．

不等边△ABC内接于⊙O,I是其内心,且AI⊥OI． 求证：AB+AC=2BC．

延长AI交⊙O于D点,交BC于E点,连DC
OI⊥AD,OA=OD
∴DI=AI
易证DI=DC
∴AD=2DC
易证△ABE∽△ADC
∴AB / BE = AD / DC = 2
AB = c
BE = ac / (b + c)
∴b + c = 2a
即AB + AC = 2BC
再问： 请问：AB = c BE = ac / (b + c) 这两个条件是从哪里来的？谢谢。
再答： AB = c就是AB边的长度为c BC边的长度为a，AC边的长度为b BE是角平分线 ∴ AB/BE = AC/CE 根据这个等式可以求出BE的长
再问： 请问为什么AE是角平分线然后就可以得出AB/BE = AC/CE这个结论呢？是不是有什么定理啊？谢谢。
再答： 这个是关于角平分线的一个定理 过C作CF//AB交AE的延长线于F，那么∠CAE = ∠BAE = ∠F ∴CA = CF ∴AB/AC = AB/CF = BE/CE 即AB/BE = AC/CE