作业帮微积分练习题,见补充说明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 06:09:19
微积分练习题,见补充说明
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1）上可导,而且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.
求证：①存在y属于（1/2,1),使f(y)=y;
②对任意实数p,至少存在一点q属于（0,y）,使得f'(q)-p[f(q)-q]=1.
主要是第二问.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1）上可导,而且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.
求证：①存在y属于（1/2,1),使f(y)=y;
②对任意实数p,至少存在一点q属于（0,y）,使得f'(q)-p[f(q)-q]=1.
主要是第二问.
把f'(q)－p[f(q)-q]＝1变形为：f'(q)－1－p[f(q)－q]＝0.很明显,f'(q)－1 与 f(q)－q之间是导数的关系.
所以构造函数F(x)＝e^(-px)×[f(x)－x],则F'(x)＝e^(-px)×[f'(x)－1－p(f(x)－x)]
因为F(0)＝0,再由第一问F(y)＝0,所以在[0,y]上使用罗尔定理即可得结论.
所以构造函数F(x)＝e^(-px)×[f(x)－x],则F'(x)＝e^(-px)×[f'(x)－1－p(f(x)－x)]
因为F(0)＝0,再由第一问F(y)＝0,所以在[0,y]上使用罗尔定理即可得结论.