微分方程xy·y'=x^2+y^2,满足(e,2e)的特解是?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 20:56:17

微分方程xy·y'=x^2+y^2,满足(e,2e)的特解是?
如何用初始条件确定解的定义域

这个方程不能直接用常数变异法做!
我换个方法:
微分方程xy·y'=x^2+y^2等价dy/dx=x/y+y/x(xy不=0),显然(0,0)为特解
P=y/x,
得xdp/dx=1/p
x^2=Cexp(p^2)
(x)^2=Cexp[(y/x)^2]
满足(e,2e)的特解得C=exp(-2)
初始条件确定解的定义域:y'=(x^2+y^2)/(xy)
右端函数在除(x=0,y=0两轴)全平面连续,关于y满足L-条件
所以满足初始条件的唯一解可以延拓到:向左到x=0,右到无穷
其实可以看出因为x如果趋向0,解y^2=x^2*lnx^2-x^2*lnc趋向无穷
所以解定义在(0,+无穷)

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