作业帮一道直线和圆锥曲线的综合问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 16:59:54
一道直线和圆锥曲线的综合问题
设P大于0为一常数,过点Q(2P.0)的直线与Y^2=2PX交于相异两点A.B,以A,B为直径作圆H(圆心为H),证明抛物线的顶点在圆H的圆周上,并求圆H的面积最小时直线AB方程?
设P大于0为一常数,过点Q(2P.0)的直线与Y^2=2PX交于相异两点A.B,以A,B为直径作圆H(圆心为H),证明抛物线的顶点在圆H的圆周上,并求圆H的面积最小时直线AB方程?
要证明抛物线的顶点在圆H的圆周上,即求证向量OA与向量OB的乘积为0
设所求直线为x=ty+2p
显然当直线为x轴时不可能,即t始终存在
连列方程x=ty+2p与Y^2=2PX
可的y^2-2pty-4p^2=0
设A(ty1+2p,y1),B(ty2+2p,y2)
则(ty1+2p,y1)(ty2+2p,y2)=4p^2t^2-4p^2t^2=0
则抛物线的顶点在圆H的圆周上
AB^2=(1+t^2)(t^2-4)4p^2
即t^2=3,圆H的面积最小
即直线方程为根号3y-x+2p=0或-根号3y-x+2p=0
设所求直线为x=ty+2p
显然当直线为x轴时不可能,即t始终存在
连列方程x=ty+2p与Y^2=2PX
可的y^2-2pty-4p^2=0
设A(ty1+2p,y1),B(ty2+2p,y2)
则(ty1+2p,y1)(ty2+2p,y2)=4p^2t^2-4p^2t^2=0
则抛物线的顶点在圆H的圆周上
AB^2=(1+t^2)(t^2-4)4p^2
即t^2=3,圆H的面积最小
即直线方程为根号3y-x+2p=0或-根号3y-x+2p=0