作业帮看图.仅有答案的不行。 谢！
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/28 23:30:46
看图.
仅有答案的不行。
谢！
仅有答案的不行。
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解由2^(p-1)/p是平方数,则存在整数n,使得（2^(p-1)-1）/p=n^2
即 2^(p-1)-1=p×n^2, (1)
当p=2时,2^(p-1)-1=1,显然不存在n,使得1=2×n^2,故p=2不满足(1)式,p=2不是该问题的解,下面仅考虑p是奇素数的情况：
对任意奇素数p,设p=2k+1,k≥1为整数,故得
2^(p-1)-1=2^(2k)-1=(2^k+1)(2^k-1),代入(1)得
(2^k+1)(2^k-1)=p×n^2, (2)
故p整除2^k+1或2^k-1,由p,2^k+1,2^k-1均为奇数,故n也必是奇数,则存在整数t有n=2t+1,n^2=4t^2+4t+1=4s+1,即n^2≡1(mod4),如果p≡1(mod4),则p×n^2≡1(mod4),而2^(p-1)-1≡-1(mod4),这与(1)式矛盾,故p≡-1(mod4),即p只能整除2^k-1,再由于2^k+1,2^k-1互素,则一定存在n=uv使得
2^k+1=u^2
2^k-1=pv^2
由2^k+1=u^2得2^k=(u-1)(u+1),2是该式两边惟一的素因,故存在整数t使得u-1=2^t,当u>3时,t>1,则u+1=2(2^(t-1)+1)含有奇数因子2^(t-1)+1,故u>3时该问题无解,即2^k+1=u^2>9,k>3,p=2k+1>7无解.
将满足p≡-1(mod4)且p≤7的3,7代入(1)式,经验证均是该问题的解.
故满足条件的p仅有3,7.
即 2^(p-1)-1=p×n^2, (1)
当p=2时,2^(p-1)-1=1,显然不存在n,使得1=2×n^2,故p=2不满足(1)式,p=2不是该问题的解,下面仅考虑p是奇素数的情况：
对任意奇素数p,设p=2k+1,k≥1为整数,故得
2^(p-1)-1=2^(2k)-1=(2^k+1)(2^k-1),代入(1)得
(2^k+1)(2^k-1)=p×n^2, (2)
故p整除2^k+1或2^k-1,由p,2^k+1,2^k-1均为奇数,故n也必是奇数,则存在整数t有n=2t+1,n^2=4t^2+4t+1=4s+1,即n^2≡1(mod4),如果p≡1(mod4),则p×n^2≡1(mod4),而2^(p-1)-1≡-1(mod4),这与(1)式矛盾,故p≡-1(mod4),即p只能整除2^k-1,再由于2^k+1,2^k-1互素,则一定存在n=uv使得
2^k+1=u^2
2^k-1=pv^2
由2^k+1=u^2得2^k=(u-1)(u+1),2是该式两边惟一的素因,故存在整数t使得u-1=2^t,当u>3时,t>1,则u+1=2(2^(t-1)+1)含有奇数因子2^(t-1)+1,故u>3时该问题无解,即2^k+1=u^2>9,k>3,p=2k+1>7无解.
将满足p≡-1(mod4)且p≤7的3,7代入(1)式,经验证均是该问题的解.
故满足条件的p仅有3,7.