数论第一次作业1．求2545与360的最大公约数.2．求487与468的最小公倍数.3．求1001!中末尾0的个数.4．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 01:51:56

数论第一次作业
1．求2545与360的最大公约数.
2．求487与468的最小公倍数.
3．求1001!中末尾0的个数.
4．设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1).
5．证明：设m,n为整数,求证m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数.

1.2545=360*7+25,360=25*14+10,25=10*2+5 ,故2545与360之最大公约数为5
2.487=468+19,468=19*24+12,故487与468互素,最小公倍数为487*468=227916
3.1001!=2^r1*3^r2*5^r3*7^r4*11^r5.,即其可以写成因子分解的标准形式,易知只有2*5=10会产生0,其他因子相乘不会增加末尾的0的个数,显然2的次数远大于5的次数,故1001!末尾0的个数与其中5的指数相同,1到1001中,5的倍数有1001/5=200个,25的倍数有1001/25=40个,125的倍数有1001/125=8个,625的倍数有1001/625=1个,没有5的5次方的倍数,故5的指数为200+40+8+1=249,即末尾有249个0
4.显然2| n(n + 1)(2n + 1),及3| n(n + 1)(2n + 1),故6| n(n + 1)(2n + 1)
5.易知m,m+1,m+2 中必有一个为3的倍数 .若m=3k ,则mn=3kn为3的倍数,若m=3k+1,则3k+1+n,3k+1-n,3kn+n ,此三数必有一个为3的倍数.若m=3k+2,则3k+2+n,3k+2-n ,3kn+2n,此3数必有一个为3的倍数

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