列向量组可以等价于经过初等列变换得到的向量组吗?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 09:04:49

列向量组可以等价于经过初等列变换得到的向量组吗?
题：设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示,则对于任意常数k,必有（）
A.α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关； B.α1,α2,α3,kβ1+β2线性相关；
C.α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关； D.α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关.
答案中写到对A=（α1,α2,α3,kβ1+β2）和B=（α1,α2,α3,β1+kβ2）实施相应的初等列变换,分别得到（α1,α2,α3,β2）和（α1,α2,α3,kβ2）.因为矩阵的初等变换不改变其行（列）向量组的秩,从而也不改变其行（列）向量组的线性相关性,可见向量组α1,α2,α3,kβ1+β2与α1,α2,α3,β2线性相关性相同……
我的疑问是：对列向量组进行初等列变换不是就改变了列向量之间的线性相关性了吗?如果可以做这样的变换的话那不是就可以对方程组的增广矩阵进行初等列变换了吗?

“对A=（α1,α2,α3,kβ1+β2）和B=（α1,α2,α3,β1+kβ2）实施相应的初等列变换,分别得到（α1,α2,α3,β2）和（α1,α2,α3,kβ2）.因为矩阵的初等变换不改变其行（列）向量组的秩,从而也不改变其行（列）向量组的线性相关性”这个说法是错误的,初等行变换不改变列向量的相关性,初等列变换不改变行向量的相关性.
题目中A=（α1,α2,α3,kβ1+β2）和B=（α1,α2,α3,β1+kβ2）可以有线性相关的定义判断.kβ1+β2不能由k1α1+k2α2+k3α3表示,β1+kβ2＝k1α1+k2α2+k3α3（当k＝0时,成立）.

设m乘n矩阵A经初等变换化成矩阵B,试举例说明A的列向量组与B的列向量组未必等价任意矩阵都可以经过一系列初等行变换化为与其等价的约化阶梯形矩阵吗?难道不经过初等列变换都可以? 初等列变换不改变矩阵的秩,矩阵的秩等于向量组的秩,那是不是列变换不改变向量组的线性相关性一道线性代数的题,A经初等行变换的矩阵B,问A列向量组与B列向量组的关系是什么, 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个极大线性无关组将列向量构成的向量组矩阵化为行阶梯形（只用行初等变换）,那么每行第一个非零元素所在的列对应的那几个向量就是这个向量组的一向量组的等价与矩阵的行等价或列等价有什么关系初等变换改变向量组的秩吗矩阵,向量组,线性方程组,什么时候只能行变换?只能列变换?行列变换都可以? 对矩阵进行初等行变换,不改变其列向量组的线性相关性!这个要怎么理解?难道初等行变换改变了其行向量的