作业帮数列和的求法,详细过程,只有结果不采纳!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 00:42:36
数列和的求法,详细过程,只有结果不采纳!
第一个：从1到n的平方和
第二个：从1到n的立方和
第三个：1*2+2*3+.+n*(n+1)的和
第四个：1*2*3+2*3*4+.+n*(n+1)*(n+2)的和
第一个：从1到n的平方和
第二个：从1到n的立方和
第三个：1*2+2*3+.+n*(n+1)的和
第四个：1*2*3+2*3*4+.+n*(n+1)*(n+2)的和
1、求^2就从^3入手,求^3就从^4入手,求^t就从^(t+1)入手
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以2^3+3^3+……+(n+1)^3=1^3+2^3+……+3*(1^2+2^2+……+^2)+3(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
所以3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3+3n^2+3n+1-1-3[n(n+1)]/2-n
所以S(An)=1^2+2^2+……+n^2=(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3=n(n+1)(2n+1)/6
2、(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1；
2^4+3^4+……+(n+1)^4=1^4+2^4+……+n^4+4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+……+n^2)+4*(1+2+……+n)+n；
4*(1^3+2^3+……+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-6*(1^2+2^2+……+n^2)-4*(1+2+……+n)-n；
4S=(n+1)[(n+1)^3-1]-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)=（n+1)(n+1-1)[(n+1)^2+(n+1)+1]-n(n+1)(2n+3)；
4S=（n+1)n(n^2+2n+1+n+1+1-2n-3)=n(n+1)(n^2+n)=n^2(n+1)^2
S=n^2(n+1)^2/4
3、（n+1)n=n²+n；
S=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1-3)/6=n(n+1)(n-1)/3
4、n*(n+1)*(n+2)=（n+1)(n^2+2n+1-1)=（n+1)[(n+1)^2-1]=（n+1)^3-n-1；
S=（n+1)^2(n+2)^2/4-（n+1)(n+2)/2=（n+1)(n+2)/2*(n^2+3n+2-2)/2=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以2^3+3^3+……+(n+1)^3=1^3+2^3+……+3*(1^2+2^2+……+^2)+3(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
所以3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3+3n^2+3n+1-1-3[n(n+1)]/2-n
所以S(An)=1^2+2^2+……+n^2=(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3=n(n+1)(2n+1)/6
2、(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1；
2^4+3^4+……+(n+1)^4=1^4+2^4+……+n^4+4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+……+n^2)+4*(1+2+……+n)+n；
4*(1^3+2^3+……+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-6*(1^2+2^2+……+n^2)-4*(1+2+……+n)-n；
4S=(n+1)[(n+1)^3-1]-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)=（n+1)(n+1-1)[(n+1)^2+(n+1)+1]-n(n+1)(2n+3)；
4S=（n+1)n(n^2+2n+1+n+1+1-2n-3)=n(n+1)(n^2+n)=n^2(n+1)^2
S=n^2(n+1)^2/4
3、（n+1)n=n²+n；
S=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1-3)/6=n(n+1)(n-1)/3
4、n*(n+1)*(n+2)=（n+1)(n^2+2n+1-1)=（n+1)[(n+1)^2-1]=（n+1)^3-n-1；
S=（n+1)^2(n+2)^2/4-（n+1)(n+2)/2=（n+1)(n+2)/2*(n^2+3n+2-2)/2=n(n+1)(n+2)(n+3)/4