作业帮求指数为负无理数的幂函数的图象
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 02:30:45
求指数为负无理数的幂函数的图象
我想知道除一象限外另一条曲线或图形的分布位置.（请不要说求不出来或没定义）
可以不上图,但求解释或说明.（请尽量用高中理论,如果涉及大学知识请说明,）
感激不尽.
我想知道除一象限外另一条曲线或图形的分布位置.（请不要说求不出来或没定义）
可以不上图,但求解释或说明.（请尽量用高中理论,如果涉及大学知识请说明,）
感激不尽.
郭敦顒回答：
指数函数y=a^x,a≠1,a＞0
当x＜0时,y=a^x=1/（a^|x|）,
x为负无理数,则指数函数y=a^x是间断的（在x为负有理数处间断）,因此函数的图象应画虚线表示间断,图象在第2象限.
又当a＞1时,y在0到1间取值；当a＜1时,y在1到+∞间取值.
你可以给出a=2,x=－√0.2,－√0.8,－√1.5,－√2,－√3,－√5,－2√2,－4√2,－8√2,…计算y=a^x的值进行描点,给出图象；再给出a=1/2,以相同的x值,计算y=a^x的值进行描点,给出图象.这样你会对所提问题有更深的认识与印象.
再问： 感谢你辛苦地打这么多字。 其实我确切地想知道幂函数的指数为无理数时，如何收束出它的奇偶性，我的标题问题只是将这个问题具体地体现出来罢了。 请以幂函数的角度来思考这个问题， 感激不尽。
再答： 郭敦顒继续回答： 幂函数y=ax^α，在定义域（0，+∞）内，不论α的大小总是有意义的。当α=0时，在定义域（－∞，+∞）内，y=a（常数）；当α=1时，在定义域（－∞，+∞）内，y=ax，为直线函数，原点对称，为奇函数；当α=2时，在定义域（－∞，+∞）内，y=ax²，为抛物线，Y轴对称，为偶函数；当α=3时，在定义域（－∞，+∞）内，原点对称，为奇函数；当α=－1时，y=a/x，为双曲函数，原点对称，为奇函数。 以上这些你是熟知的，当然你要问的不是这，但却与此有联系，有比较。你想知道幂函数的指数为无理数时，函数奇偶性的问题。这需从函数奇偶性的基本概出发，才能解答这问题。 如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数，奇函数的图形关于坐标原点对称。显然奇函数的定义域是（－∞，+∞）。 如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数，偶函数的图形关于Y轴对称。显然偶函数的定义域是（－∞，+∞）。 而若幂函数的指数为无理数时，那么有理由在y=ax^α中，设α=√0.5， 但y=ax^（√0.5）的定义域是（0，+∞），在x＜0时，y=ax^（√0.5）是无意义的，因此幂函数y=ax^（√0.5）没有奇偶性可谈；而当α=－√0.5时，y=ax^（－√0.5）= y=a/x^（√0.5）的定义域是（0，+∞），幂函数y=ax^（－√0.5）也没有奇偶性可谈。 关于幂函数y=ax^α定义域的问题，在高等数学导数公式中，幂函数y=ax^α中，α为任意实数，y′=αax^（α－1）。看来这方面还存有一定的问题。
指数函数y=a^x,a≠1,a＞0
当x＜0时,y=a^x=1/（a^|x|）,
x为负无理数,则指数函数y=a^x是间断的（在x为负有理数处间断）,因此函数的图象应画虚线表示间断,图象在第2象限.
又当a＞1时,y在0到1间取值；当a＜1时,y在1到+∞间取值.
你可以给出a=2,x=－√0.2,－√0.8,－√1.5,－√2,－√3,－√5,－2√2,－4√2,－8√2,…计算y=a^x的值进行描点,给出图象；再给出a=1/2,以相同的x值,计算y=a^x的值进行描点,给出图象.这样你会对所提问题有更深的认识与印象.
再问： 感谢你辛苦地打这么多字。 其实我确切地想知道幂函数的指数为无理数时，如何收束出它的奇偶性，我的标题问题只是将这个问题具体地体现出来罢了。 请以幂函数的角度来思考这个问题， 感激不尽。
再答： 郭敦顒继续回答： 幂函数y=ax^α，在定义域（0，+∞）内，不论α的大小总是有意义的。当α=0时，在定义域（－∞，+∞）内，y=a（常数）；当α=1时，在定义域（－∞，+∞）内，y=ax，为直线函数，原点对称，为奇函数；当α=2时，在定义域（－∞，+∞）内，y=ax²，为抛物线，Y轴对称，为偶函数；当α=3时，在定义域（－∞，+∞）内，原点对称，为奇函数；当α=－1时，y=a/x，为双曲函数，原点对称，为奇函数。 以上这些你是熟知的，当然你要问的不是这，但却与此有联系，有比较。你想知道幂函数的指数为无理数时，函数奇偶性的问题。这需从函数奇偶性的基本概出发，才能解答这问题。 如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（－x）=－f（x），则称f（x）为奇函数，奇函数的图形关于坐标原点对称。显然奇函数的定义域是（－∞，+∞）。 如果函数f（x）对于定义域内的任意x都满足f（－x）=f（x），则称f（x）为偶函数，偶函数的图形关于Y轴对称。显然偶函数的定义域是（－∞，+∞）。 而若幂函数的指数为无理数时，那么有理由在y=ax^α中，设α=√0.5， 但y=ax^（√0.5）的定义域是（0，+∞），在x＜0时，y=ax^（√0.5）是无意义的，因此幂函数y=ax^（√0.5）没有奇偶性可谈；而当α=－√0.5时，y=ax^（－√0.5）= y=a/x^（√0.5）的定义域是（0，+∞），幂函数y=ax^（－√0.5）也没有奇偶性可谈。 关于幂函数y=ax^α定义域的问题，在高等数学导数公式中，幂函数y=ax^α中，α为任意实数，y′=αax^（α－1）。看来这方面还存有一定的问题。