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分别以三角形ABC的三条边BC,CA,AB为轴,把ABC旋转,用所得几何体的体积分别记为V1,V2,V3——

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/28 06:00:21
分别以三角形ABC的三条边BC,CA,AB为轴,把ABC旋转,用所得几何体的体积分别记为V1,V2,V3——
—在△ABC内部选择一点P,使点P到各边的距离之比为V1:V2:V3,则点P是三角形ABC的____.
绕三角形各边旋转后所得几何体为一双尖锥体,容易证得(如对BC边,其上高为H1):V=BC*л*H1^2/3=(BC*H1/2)*[л*(2/3)]*H1;
因此P到各边距离之比 V1:V2:V3=H1:H2:H3;(H2_CA,H3_AB)
假高P到各边的距离分别为h1,h2,h3;则h1:h2:h3=H1:H2:H3,
三角形面积=BC*H1/2=CA*H2/2=AB*H3/2,
对BC和CA边而言,H1:H2=CA:BC;
由h1:h2=H1:H2得:h1*BC=h2*CA,
亦即三角形PBC与三角形PCA面积相等(同样也与三角形PAB相等),
所以P是三角形ABC的重心.