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若a+b=1,a,b∈R+,则(a+1a)2+(b+1b)2的最小值是 ___ .

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 21:29:17
若a+b=1,a,b∈R+,则(a+
1
a
∵a+b=1,a,b∈R+
∴(a+
1
a)2+(b+
1
b)2
=a2+
1
a2+2+b2+
1
b2+2
=a2+b2+
1
a2+
1
b2+4
=(a2+b2)(1+
1
a2b2)+4
=[(a+b)2-2ab](1+
1
a2b2)+4
=(1-2ab)(1+
1
a2b2)+4.
∵a+b≥2
ab,
∴ab≤
1
4,(当且仅当a=b时取等号)
∴1-2ab≥
1
2,1+
1
a2b2≥17,
∴(1-2ab)(1+
1
a2b2)+4≥
25
2.
∴(a+
1
a)2+(b+
1
b)2
25
2.
故答案为
25
2.