求函数f(x)=(sinx)*(sin5x)的最小正周期

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 15:12:09

求函数f(x)=(sinx)*(sin5x)的最小正周期
(1)求f(x)的最小正周期。
(2)证明：x=π/2是f(x)的对称轴

因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ②
②-①得2sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β)
所以sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2
所以f(x)=(sinx)*(sin5x)=[cos(x-5x)-cos(x+5x)]/2=(cos4x-cos6x)/2
因为y=cos4x的最小正周期是T1=2π/4=π/2
y=cos6x的最小正周期是T2=2π/6=π/3
而T1与T2的最小公倍数是π所以函数的最小正周期是T=π
再问： (1)不要严格证明的话，有没有什么快速的方法判断出f(x)的最小正周期(经验技巧之类的)？ (2)证明：x=π/2是f(x)的对称轴
再答：你好，对于这类问题，看肯定是不能看出来，因为这是乘积的形式一定要先化成加减的形式才能判断 (2) 因为f(x)=(cos4x-cos6x)/2 要证明x=π/2是f(x)的对称轴只需要证明f(π/2+x)=f(π/2-x)即可因为f(π/2+x)=[cos4(π/2+x)-cos6(π/2+x)]/2=[cos(2π+4x)-cos(3π+6x)]/2=(cos4x+cos6x)/2 f(π/2-x)=[cos4(π/2-x)-cos6(π/2-x)]/2=[cos(2π-4x)-cos(3π-6x)]/2=(cos4x+cos6x)/2 所以f(π/2+x)=f(π/2-x) 所以x=π/2是f(x)的对称轴

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