作业帮求教关于“集合论和图论”的一道题目
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 20:27:44
求教关于“集合论和图论”的一道题目
[性质] 设 R 为 X 上的一个等价关系,则
① X 中的任何一个元素,至少属于一个 R–等价类.
② 若 x,yX,则 x,y 或属同一 R–等价类,或属两个不同的 R–等价类且此两个不同等价类的交集为 （不相交）.
求该性质的证明！
[性质] 设 R 为 X 上的一个等价关系,则
① X 中的任何一个元素,至少属于一个 R–等价类.
② 若 x,yX,则 x,y 或属同一 R–等价类,或属两个不同的 R–等价类且此两个不同等价类的交集为 （不相交）.
求该性质的证明！
设 R 为 X 上的一个等价关系.
①任何一个元素x∈X,集合Ax＝｛y| y∈X,且yRx｝,∵xRx,.∴x∈Ax,
设s∈Ax,t∈Ax,则sRx,tRx,有xRt （对称性） sRt（传递性） Ax是一个含x的等价类.
②设z∈等价类Az,Ax∩Az≠Φ（空集）,需要证明 Ax＝Az.
设p∈Ax∩Az pRx,pRz.则 zRp zRx z∈Ax,任何t∈Az tRz tRx t∈Ax Az包含于Ax.
同理Ax包含于Az.Ax＝Az.
即得：两个 R–等价类.或者完全相同.或者交为空集（没有公共元素）,而X的每个元素都属于
一个R-等价类 ,这样,一个等价关系R ,就完全确定了一个对X的 分划.（ R–等价类分划.） .
①任何一个元素x∈X,集合Ax＝｛y| y∈X,且yRx｝,∵xRx,.∴x∈Ax,
设s∈Ax,t∈Ax,则sRx,tRx,有xRt （对称性） sRt（传递性） Ax是一个含x的等价类.
②设z∈等价类Az,Ax∩Az≠Φ（空集）,需要证明 Ax＝Az.
设p∈Ax∩Az pRx,pRz.则 zRp zRx z∈Ax,任何t∈Az tRz tRx t∈Ax Az包含于Ax.
同理Ax包含于Az.Ax＝Az.
即得：两个 R–等价类.或者完全相同.或者交为空集（没有公共元素）,而X的每个元素都属于
一个R-等价类 ,这样,一个等价关系R ,就完全确定了一个对X的 分划.（ R–等价类分划.） .