（2013•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/19 22:52:21

（2013•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；
（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．

（1）∵∠AOB=90°，

∴AB为⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=
OA2+OB2=10，
∴⊙M的半径为5；
∵A（8，0），B（0，6），
∴圆心M的坐标为（4，3）；

（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，
∵BC与⊙M相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴
OB
OC=
OA
OB，即
6
OC=
8
6，解得OC=
9
2，
∴C点坐标为（-
9
2，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（-
9
2，0）分别代入

b＝6
−
9
2k+b＝0，
解得

k＝
4
3
b＝6，
∴直线l的解析式为y=
4
3x+6；

（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=
24
7，
∴OD=
24
7，ON=
2ND=
24
2
7，
∴N点坐标为（
24
7，
24
7）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即
24
7：6=AN：10，解得AN=
40
7，
∴BN=10-
40
7=
30
7，
∵∠OBA=∠OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即
30
7：NE=
24
2
7：
40
7，解得NE=
25
2
7，
∴OE=ON+NE=
24
2
7+
25
2
7=7
2．