一个证明,pi为圆周率,n为奇数1.设w为n次单位根（w=cos 2pi/n+i*sin 2pi/n).求证：（1+w)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 00:55:58

一个证明,
pi为圆周率,n为奇数
1.设w为n次单位根（w=cos 2pi/n+i*sin 2pi/n).
求证：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)=2
2.设角a=pi/n.
求：1.cos a*cos2a*...*cos a(n-1)/2
2.cos2a*cos4a*...*cos(n-1)a
3.t为任意角,n为正整数,a=2pi/n.求证
cos^2 t+cos^2 (t+a)+cos^2 （t+2a)+...+cos^2 (t+(n-1)a)=n/2
4.给定不共线三点ABC,求证：
（1）该平面上一定唯一存在一点O,使角AOB=AOC=BOC.
（2）这点O使|OA|+|OB|+|OC|最小.
只回答一个也不要紧。
第四题条件改为：ABC最大角不超过120度。
第四题的第一问发现很好证，

建议把分布在单位圆上的根画在图上以供参考.
记号wk = (cos 2pi/n+i*sin 2pi/n)^k
1：用韦达定理
（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)
= (1+w1)(1+w2)...(1+wn)
= 1 + 两根互乘之和 + 三根互乘之和 + …… + N根互乘之和
由方程:w^n - 1 = 0
1 + 两根互乘之和 + 三根互乘之和 + …… + N根互乘之和
= 1 + N根互乘之和
= 1 + -1*(-1)^n
= 2 （因为n为奇数）
2.1：由于w^n = 1,得：
（1+w)(1+w^2)...[1+w^(n-1)] = 2
即：
{(1+w)[1+w^(n-1)]}{(1+w^2)[1+w^(n-2)]}……{[1+w^(n-1)/2][1+w^(n+1)/2]}=1
注意w^k和w^(n-k)互为共轭(建议画个单位圆即根的分布)
(1+w^k)*[1+w^(n-k)] = 1+w^n+w^k+w^(n-k) = {2*cos[pi*k/n]}^2 = {2*cos（a*k）}^2
可得{2cos a*2cos2a*...*2cos a(n-1)/2}^2 = 1
下面不用说了吧
2.3：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)
= (1+w1)(1+w2)...(1+wn)
w2的k次方一定是方程w^n = 1的根
当k取便n个值时由于n是奇数,但却不会出现重复,即：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n) = 2 中w换成w2一样成立
同理可以得到{2cos2a*2cos4a*...*2cos a(n-1)}^2 = 1
注意式中各角度都在180度以内,画个图只要正负就好了,当然做几个图可以总结一下得到通式.
3：cos^2(t+ka) = 1/2*cos[2t+2ka]+1/2
只需从0到n-1对e^[2t+2ka],求和(实际上这个和为0）然后取实部就可以的到证明中最核心的部分
4：直接看费马点的证明就可以了

证明sin(pi/n)*sin(2pi/n)*sin(3pi/n)*…sin((n-1)pi/n)=n/(2^(n-1) 三角函数恒等变形证明sin( pi/3 ) + sin( 2*pi/3) + ...+ sin( n * pi/3)= n=0:127; x=cos(0.04*pi*n)+cos(0.08*pi*n)+cos(0.4*pi*n); w=ra 求极限lim(1/n)*[(sin(pi/n)+sin(2pi/n)+.+sin(n*pi/n)] n->无穷概率论证明题设μ为n次独立试验中事件A出现的次数,在第i次试验中事件A出现的概率为pi,求Dμ 并证明：在1/n∑pi matlab L=100;n=0:L-1;w=0.1*pi;xn=cos(w*n);wh=0.54-0.46*cos(( 证明∫sin^nx/(sin^nx+cos^nx)dx在0~π/2积分恒为pi/4其中n为正整数 [(N*PI)/2]*|SINX|在(0,N*PI)积分为什么=[(N*N*PI)/2]|SINX|在(0,PI)积分? 如何用matlab画图 x(n)=x(n-1)+sin(n*pi/n) y(n)=y(n-1)+cos(n*pi/n) 已知函数f(x)=sin(pi-wx)coswx+cos^2wx(w>0)的最小正周期为pi.(1)求w的值（2）求函数 ∑1/n^2=pi^2/6 证明∑(-1)^n-1 1/n^2=pi^2/12 w是1的n次方根的一个根,证明1+w+w^1+w^2+等等+w^n=0