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如图,点P为△ABC内一点,使得∠ABP=∠ACP,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,点M、N分别为线段BC、EF

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 08:05:43
如图,点P为△ABC内一点,使得∠ABP=∠ACP,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,点M、N分别为线段BC、EF的中点,求证:MN⊥EF.
◆本题是很不错的一道题目,由于中点较多,可联想到"三角形的中位线".
取PB的中点G,连接GE,GM,EM;取PC的中点H,连接FH,MH,MF.
∵PE垂直AB,M为BC的中点.
∴GE=BP/2=MH;同理可证:GM=PC/2=FH;
∵∠ABP=∠ACP.
∴∠GPE=∠HPF;(等角的余角相等)
又GE=EP,FH=PH,则∠EGP=∠FHP.(底角相等的等腰三角形顶角也相等)
∵GM∥PC,MH∥BP.(三角形中位线的性质)
∴∠PGM=∠PHM,则∠EGM=∠FHM.(等式的性质)
∴⊿EGM≌⊿MHF(SAS),EM=MF;
又点N为EF的中点,故MN⊥EF.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)