作业帮 > 数学 > 作业

证明A+B+C=n(pai).(n属于整数)的充要条件是tanA+tanB+tanC.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 04:58:24
证明A+B+C=n(pai).(n属于整数)的充要条件是tanA+tanB+tanC.
需加前提条件:A,B,C≠kπ+π/2,k∈Z
A+B+C=n(pai).(n属于整数)的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
必要性:若A+B+C=nπ,则A+B=nπ-C
∴tan(A+B)=tan(nπ-C)
∴( tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
充分性:若tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC
∴( tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC
∴tan(A+B)=tan(-C)
∴ A+B=nπ-C ,n∈Z
∴A+B+C=nπ
∴A+B+C=n(pai).(n∈Z)的充要条件
是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.