作业帮求复合函数导数的问题它的导数怎么求?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 12:48:51
求复合函数导数的问题
它的导数怎么求?
它的导数怎么求?
f(x)=x-ln[ x+√(1+x²) ],设g(x)=ln(x),h(x)=√(1+x²),
则f(x)=x-g[ x+h(x) ],f'(x)=1-g'[ x+h(x) ]×[ x+h(x) ]'=1-g'[ x+h(x) ]×[1+h'(x)]
g‘(x)=1/x,h’(x)=1/2×(1+x²)^(-1/2)×2x=x/√(1+x²)
所以,f'(x)=1-[ 1-x/√(1+x²) ] / [ x+√(1+x²) ]
=1-{ [ 1-x / √(1+x² ) ] × [ x-√(1+x²) ] } / { [ x+√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] }
=1+[ 1- x /√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ]
=1+x-x² / √(1+x²)-√(1+x²)+x
=1+2x-√(1+x²)-x² / √(1+x²)
再问： 1.讨论函数f（x）的单调性。函数的定义域为R，由于
知f（x）是R上的增函数。这是什么意思？定义域为什么直接写R，这个导数是怎求的？
再答： 我的导函数求错了，应该是 f'(x)=1-[ 1+x/√(1+x²) ] / [ x+√(1+x²) ] =1-{ [ 1+x / √(1+x² ) ] × [ x-√(1+x²) ] } / { [ x+√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] } =1+[ 1+ x /√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] =1+x+x² / √(1+x²)-√(1+x²)-x =1-√(1+x²)+x² / √(1+x²) =1-1/√(1+x²) 从原函数可知，x的定义域应该是x+√(1+x²)﹥0，√(1+x²)﹥-x，1+x²﹥x²，1﹥0，也就是说任意x都满足定义域，所以定义域为R。 由于1+x²≧1，所以√(1+x²)≧1，1/√(1+x²)≦1，1-1/√(1+x²)≧0，所以有f'(x)=1-1/√(1+x²)≧0， 导函数就是函数各点的斜率，斜率大于0就是增函数，所以f(x)为R上的增函数。
则f(x)=x-g[ x+h(x) ],f'(x)=1-g'[ x+h(x) ]×[ x+h(x) ]'=1-g'[ x+h(x) ]×[1+h'(x)]
g‘(x)=1/x,h’(x)=1/2×(1+x²)^(-1/2)×2x=x/√(1+x²)
所以,f'(x)=1-[ 1-x/√(1+x²) ] / [ x+√(1+x²) ]
=1-{ [ 1-x / √(1+x² ) ] × [ x-√(1+x²) ] } / { [ x+√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] }
=1+[ 1- x /√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ]
=1+x-x² / √(1+x²)-√(1+x²)+x
=1+2x-√(1+x²)-x² / √(1+x²)
再问： 1.讨论函数f（x）的单调性。函数的定义域为R，由于
知f（x）是R上的增函数。这是什么意思？定义域为什么直接写R，这个导数是怎求的？再答： 我的导函数求错了，应该是 f'(x)=1-[ 1+x/√(1+x²) ] / [ x+√(1+x²) ] =1-{ [ 1+x / √(1+x² ) ] × [ x-√(1+x²) ] } / { [ x+√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] } =1+[ 1+ x /√(1+x²) ] × [ x-√(1+x²) ] =1+x+x² / √(1+x²)-√(1+x²)-x =1-√(1+x²)+x² / √(1+x²) =1-1/√(1+x²) 从原函数可知，x的定义域应该是x+√(1+x²)﹥0，√(1+x²)﹥-x，1+x²﹥x²，1﹥0，也就是说任意x都满足定义域，所以定义域为R。 由于1+x²≧1，所以√(1+x²)≧1，1/√(1+x²)≦1，1-1/√(1+x²)≧0，所以有f'(x)=1-1/√(1+x²)≧0， 导函数就是函数各点的斜率，斜率大于0就是增函数，所以f(x)为R上的增函数。