作业帮一个关于直角坐标系的数学问题：
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 19:15:42
一个关于直角坐标系的数学问题：
一个平面里面有n个已知点,称为P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),P3(X3,Y3)……Pn(Xn,Yn).现在需要找出一个点Pm(Xm,Ym),使该点满足条件：Pm到所有已知点的距离之和最小,也就是说,P1到Pm的距离+P2到Pm的距离+P3到Pm的距离+……+Pn到Pm的距离最小.（如果答案是多解,只给出一个点的坐标即可.当然要是能给出所有解最好.）
我在工作中遇到的实际问题,简化成了数学模型,然后百思不得其解.重点应该在于如何证明Pm满足这个条件.
如果可能的话,是否可以类推出,空间中N个已知点,求一个点M,满足这个点到所有已知点的距离最小的条件.
一个平面里面有n个已知点,称为P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),P3(X3,Y3)……Pn(Xn,Yn).现在需要找出一个点Pm(Xm,Ym),使该点满足条件：Pm到所有已知点的距离之和最小,也就是说,P1到Pm的距离+P2到Pm的距离+P3到Pm的距离+……+Pn到Pm的距离最小.（如果答案是多解,只给出一个点的坐标即可.当然要是能给出所有解最好.）
我在工作中遇到的实际问题,简化成了数学模型,然后百思不得其解.重点应该在于如何证明Pm满足这个条件.
如果可能的话,是否可以类推出,空间中N个已知点,求一个点M,满足这个点到所有已知点的距离最小的条件.
这个问题比较复杂,一般的通解目前还没有.少量结果解释如下：
一、当n=3时,
1）如果三点共线,则Pm即是三点中位于线段内部的那个点,如P2在线段P1P3上,则P2就是到P1、P2、P3距离之和最小的点；
2）如果三点不共线,组成的三角形最大内角不超过120°,则Pm是其内部一点（费马点）,该点到三个顶点的张角均为120°；
3）如果三点不共线,组成的三角形的最大内角大于120°,则Pm就是该钝角顶点；
二、当n=4时,
1）如果四点共线,比如P1P2P3P4顺次共线,则Pm为线段P2P3上任一点（包括端点P2和P3,多解）；
2）如果四点不共线,组成四边形P1P2P3P4,则Pm为对角线P1P3与P2P4的交点；
3）如果四点不共线,组成三角形P1P2P3,P4在三角形P1P2P3内部或边上,则Pm=P4.
再问： 谢谢先。那怎么才能推及到n>4的情况呢？ 我遇到的情况实际上是铺设光缆的设计，寻找一个中心站点，大约有18个站点左右，需要从所有站点铺设到这个中心站，然后使铺设的光缆长度最少。由于光缆的铺设长度和直线距离基本上是成比例的，所以才有了上面这个问题。
再答： 只能说声对不起了。据我有限的知识，n=18的情况目前数学界还没有从根本上解决，你只能大约估算了。
一、当n=3时,
1）如果三点共线,则Pm即是三点中位于线段内部的那个点,如P2在线段P1P3上,则P2就是到P1、P2、P3距离之和最小的点；
2）如果三点不共线,组成的三角形最大内角不超过120°,则Pm是其内部一点（费马点）,该点到三个顶点的张角均为120°；
3）如果三点不共线,组成的三角形的最大内角大于120°,则Pm就是该钝角顶点；
二、当n=4时,
1）如果四点共线,比如P1P2P3P4顺次共线,则Pm为线段P2P3上任一点（包括端点P2和P3,多解）；
2）如果四点不共线,组成四边形P1P2P3P4,则Pm为对角线P1P3与P2P4的交点；
3）如果四点不共线,组成三角形P1P2P3,P4在三角形P1P2P3内部或边上,则Pm=P4.
再问： 谢谢先。那怎么才能推及到n>4的情况呢？ 我遇到的情况实际上是铺设光缆的设计，寻找一个中心站点，大约有18个站点左右，需要从所有站点铺设到这个中心站，然后使铺设的光缆长度最少。由于光缆的铺设长度和直线距离基本上是成比例的，所以才有了上面这个问题。
再答： 只能说声对不起了。据我有限的知识，n=18的情况目前数学界还没有从根本上解决，你只能大约估算了。