欧拉函数φ(n)=24,求所有的n?以及φ(n)等于一个任意正整数的一般方法

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 19:43:41

24的约数有1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 其中后继为素数的有1, 2, 4, 6, 12.
因此n的可能质因数有2, 3, 5, 7, 13.
可设n = 2^a·3^b·5^c·7^d·13^e.
有24 = φ(n) = φ(2^a)·φ(3^b)·φ(5^c)·φ(7^d)·φ(13^e).
分别由φ(2^a), φ(3^b), φ(5^c), φ(7^d), φ(13^e)是24的约数, 可知a ≤ 4, b ≤ 2, c, d, e ≤ 1.
可能性情况约束为有限种.
1. 若e = 1, 有φ(2^a)·φ(3^b)·φ(5^c)·φ(7^d) = φ(n)/φ(13) = 2.
可知a ≤ 2, b ≤ 1, c = d = 0.
(1) 若b = 1, φ(2^a) = 1, 可得a = 0, 1, 分别得解n = 39, 78.
(2) 若b = 0, φ(2^a) = 2, 可得a = 2, 得解n = 52.
2. 若e = 0, d = 1, 有φ(2^a)·φ(3^b)·φ(5^c) = φ(n)/φ(7) = 4.
可知a ≤ 3, b ≤ 1, c ≤ 1.
(1) 若c = 1, φ(2^a)·φ(3^b) = 1, 得b = 0, a = 0, 1, 分别得解n = 35, 70.
(2) 若c = 0, b = 1, φ(2^a) = 2, 得a = 2, 得解n = 84.
(3) 若b = c = 0, φ(2^a) = 4, 得a = 3, 得解n = 56.
3. 若d = e = 0, c = 1, 有φ(2^a)·φ(3^b) = φ(n)/φ(5) = 6.
可知b = 2, 否则左端不能被3整除.
于是φ(2^a) = 1, 得a = 0, 1, 得解n = 45, 90.
4. 若c = d = e = 0, 有φ(2^a)·φ(3^b) = 24.
同样知b = 2, 于是φ(2^a) = 4, 得a = 3, 得解n = 72.
综上, 全部解为n = 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90, 共10个.
以上过程可以推广为一般方法(虽然效率难以保证).
枚举φ(n)的约数, 确定n的可能的素因子.
确定各素因子的指数范围, 然后在有限的范围内枚举指数的取值.
视情况不需要枚举所有可能的组合, 而是可由已经取定的指数进一步限制未取定的指数的范围.

设计算法求因数任意一个大于1的正整数n,设计一个算法求n的所有因数. N表示全体正整数,求所有的函数g:N→N,使得对于任意m,n∈N,(g(m)+n)(g(n)+m)都是完全平方数. 编写一个函数fun(n),求任意4位正整数的逆序数. 求所有正整数n.使n=d(n)² ,其中d(n)指n的正约数个数输出所有小于等于n（n为一个大于2的正整数）的素数, C语言中输入一个正整数n(1≤n≤200),输出所有的整数对,相乘的积等于n.例如：N=20 给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k 任意给定一个大于1的的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数．若n是正整数,且n^2+9n+98恰好等于相邻两个正整数的积.求n的所有值一道高中竞赛题问是否存在一个从正整数对应到正整数的函数f使得f(f(n))=f(n)+n,并且对所有n有f(n) 数学求表达式定义在正整数集上的函数f(x)对任意m.n属于正整数,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2