二次函数y=ax^2+bx+c,b>a,对任意的x,y>=0.求(a+b+c)/(b-a)的最小值
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 09:52:07
二次函数y=ax^2+bx+c,b>a,对任意的x,y>=0.求(a+b+c)/(b-a)的最小值
c都是正的,怎么可能是0
c都是正的,怎么可能是0
对于任意的x,y≥0,可见二次函数y=ax^2+bx+c开口是向上的.
则一定有a>0.
根据判别式b^2-4ac≤0.
则c≥b^2/(4a)
则(a+b+c)/(b-a)
=[a+b+b^2/(4a)]/(b-a)
=[1+(b/a)+(1/4)·(b/a)^2]/[(b/a)-1]
=[(1/4)·(b/a)^2+(b/a)+1]/[(b/a)-1]
=[(b/a)^2+4·(b/a)+4]/{4·[(b/a)-1]}
={[(b/a)-1]^2+6·[(b/a)-1]+9}/{4·[(b/a)-1]}
=(1/4)·{[(b/a)-1]+6+9/[(b/a)-1]}
令b/a=t;则:
∵b>a>0,
∴b/a>1.
则t>1;t-1>0.
则[(b/a)-1]+9/[(b/a)-1]≥2√{[(b/a)-1]·9/[(b/a)-1]}=6.
则[(b/a)-1]+6+9/[(b/a)-1]≥12;
则(a+b+c)/(b-a)=[(b/a)+2]^2/{4·[(b/a)-1]}=(1/4)·{[(b/a)-1]+6+9/[(b/a)-1]}≥(1/4)×12=3
即(a+b+c)/(b-a)的最小值是3.
则一定有a>0.
根据判别式b^2-4ac≤0.
则c≥b^2/(4a)
则(a+b+c)/(b-a)
=[a+b+b^2/(4a)]/(b-a)
=[1+(b/a)+(1/4)·(b/a)^2]/[(b/a)-1]
=[(1/4)·(b/a)^2+(b/a)+1]/[(b/a)-1]
=[(b/a)^2+4·(b/a)+4]/{4·[(b/a)-1]}
={[(b/a)-1]^2+6·[(b/a)-1]+9}/{4·[(b/a)-1]}
=(1/4)·{[(b/a)-1]+6+9/[(b/a)-1]}
令b/a=t;则:
∵b>a>0,
∴b/a>1.
则t>1;t-1>0.
则[(b/a)-1]+9/[(b/a)-1]≥2√{[(b/a)-1]·9/[(b/a)-1]}=6.
则[(b/a)-1]+6+9/[(b/a)-1]≥12;
则(a+b+c)/(b-a)=[(b/a)+2]^2/{4·[(b/a)-1]}=(1/4)·{[(b/a)-1]+6+9/[(b/a)-1]}≥(1/4)×12=3
即(a+b+c)/(b-a)的最小值是3.
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