点G是△ABC内一点,向量AF=λFB,向量BD=μDC,向量CE=νEA,求λμν关系

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 00:25:01

点G是△ABC内一点,向量AF=λFB,向量BD=μDC,向量CE=νEA,求λμν关系
其中F在AB上，D在BC上，E在CA上。G是CF,AD，BE的交点

【解】
△AFG与△BFG的底分别是AF与BF,高相同,所以二者的面积比
S△AFG/S△BFG= AF/BF,
S△AFG = AF/BF •S△BFG.
△AFC与△BFC的底分别是AF与BF,高相同,所以二者的面积比
S△AFC/S△BFC= AF/BF,
S△AFC= AF/BF• S△BFC.
所以S△AFC- S△AFG = AF/BF• S△BFC- AF/BF •S△BFG,
即S△AGC= AF/BF•S△BGC.
S△AGC/ S△BGC= AF/BF.
同理
S△AGB/ S△AGC= BD/DC.
S△BGC/ S△BGA= CE/EA.
所以
AF/BF •BD/DC• CE/EA= S△AGC/ S△BGC• S△AGB/ S△AGC •S△BGC/ S△BGA
=1,
即λμν=1.
下面是一道类似的题目,供参考：
点O 是△ABC中一点,AD,BE,CF过点O 分别交BC、CA、AB交点D,E,F,求证：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1.
【证明】
作AM⊥BC,ON⊥BC,垂足分别为M、N
则S△BOC/S△ABC
＝(BC*ON/2)/(BC*AM/2)
＝ON/AM
因为AM⊥BC,ON⊥BC
所以ON‖AM
所以OD/AD＝ON/AM
所以OD/AD＝S△BOC/S△ABC
同理可证
OE/BE＝S△AOC/S△ABC
OF/CF＝S△AOB/S△ABC
所以OD/AD+OE/BE+OF/CF
＝S△BOC/S△ABC＋S△AOC/S△ABC＋S△AOB/S△ABC
＝(S△BOC＋S△AOC＋S△AOB)/S△ABC
＝S△ABC/S△ABC
＝1.

设D,E,F,分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点,且向量DC=2向量BD,向量CE=2向量EA,向量AF=2向设D,E,F分别为三角形ABC的三边BC,CA,AB上的点,且向量DC=2向量BD,向量CE=2向量EA,向量AF=2向请看下题：三角形ABC中,BD:DC=2:3,EA:CE=5:4,求AF:FB. 设点D、E、F分别是三角形ABC三边AB、BC、CA的中点.求证:向量EA+向量FB+向量DC=0. 点D E F分别是△ABC三边AB BC CA上的中点,求证：向量AB+向量BE=向量AC+向量CE 和向量EA+向量F △ABC中,O为△ABC内一点,若M为空间内任一点,向量MO=向量MA+λ(向量AB/|向量AB|+向量AC/|向量AC D.E.F分别为三角形ABC各边BC.CA.AB上的点,且AF/FB=BD/DC=CE/EA,求证：三角形ABC和三角形在三角形ABC中,AD,BE,CF三线交于一点O,求证：BD/DC乘以CE/EA乘以AF/FB=1 D,E,F,分别为三角形ABC三边AB,BC,CA中点,证明向量EA+向量FB+向量DC=0 已知ABC是椭圆上的三个点.F是焦点,且满足:向量FA+向量FB+向量FC=0.求:向量FA的模+向量FB的模+向量FC 平形四边形ABCD点E是DC的中点EA与DB交于F,记向量AB=向量a向量AD=向量b求向量AE向量DF关于向量ab分解一道空间向量的题目已知点G是△ABC的重心,O是空间内任意一点,若OA+OB+OC=λOG（都是向量,我打不出来）,求λ