lim (1+1/n)^n+1 ( n→∞)时的极限?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/07 08:10:21
lim (1+1/n)^n+1 ( n→∞)时的极限?
第一问题:lim (1+1/n)^n+1 ( n→∞)时的极限?第二问题:(1+1/n)^n+1 是减缓数,怎么证明?都要过程!
感谢
第一问题:lim (1+1/n)^n+1 ( n→∞)时的极限?第二问题:(1+1/n)^n+1 是减缓数,怎么证明?都要过程!
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lim (1+1/n)^n*lim (1+1/n)
=e*1
=e
简单的方法是直接证它在R+上单调减,这个可以求导来做,最后归结为证
x Log(1 + 1/x) > 1
这个题也可以利用伯努利不等式(此式也可用数学归纳法证明):
(1 + α)^n ≥ 1 + nα
这样直接求商算一算:
f(n) / f(n + 1)
= ...
= (1 + 1 / (n^2 + 2n))^(n + 1) * (n + 1) / (n + 2)
≥ (1 + (n + 1) / (n^2 + 2n)) * (n + 1) / (n + 2)
= ...
= 1 + 1 / (n^3 + 4n^2 + 4n)
> 1
所以f(n)单调减.
=e*1
=e
简单的方法是直接证它在R+上单调减,这个可以求导来做,最后归结为证
x Log(1 + 1/x) > 1
这个题也可以利用伯努利不等式(此式也可用数学归纳法证明):
(1 + α)^n ≥ 1 + nα
这样直接求商算一算:
f(n) / f(n + 1)
= ...
= (1 + 1 / (n^2 + 2n))^(n + 1) * (n + 1) / (n + 2)
≥ (1 + (n + 1) / (n^2 + 2n)) * (n + 1) / (n + 2)
= ...
= 1 + 1 / (n^3 + 4n^2 + 4n)
> 1
所以f(n)单调减.
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