（2010•江门二模）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AA1⊥底面ABCD，AD=1，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/09 08:36:42

（2010•江门二模）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，AA₁⊥底面ABCD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E、F分别是侧棱BB₁、CC₁上一点，BE=1，CF=2，平面AEF与侧棱DD₁相交于G．
（1）证明：平面AEFG⊥平面BB₁C₁C；
（2）求线段CG与平面AEFG所成角的正弦值；
（3）求以C为顶点，四边形AEFG在对角面BB₁D₁D内的正投影为底面边界的棱锥的体积．

（1）证明：连接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=
3，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因为AA₁⊥底面ABCD，AA₁⊥BD，AA₁∩AD=A，
所以BD⊥平面AA₁D₁D，因为平面AA₁D₁D∥平面BB₁C₁C，
所以AE∥FG，同理AG∥EF，所以AEFG是平行四边形，
所以AG=EF，
AD2+DG2＝
BC2+(CF−BE)2，所以DG=CF-BE=1=BE，
连接EG，因为DG∥BE，所以BDGE是平行四边形，GE∥BD，
因为BD⊥平面AA₁D₁D，所以GE⊥平面BB₁C₁C，GE⊂平面AEFG，所以平面AEFG⊥平面BB₁C₁C．

（2）连接CE，因为CF=2、CE=
BC2+BE2＝
2=EF，CF²=CE²+EF²，所以CE⊥EF，
因为平面AEFG⊥BB₁C₁C，平面AEFG∩BB₁C₁C=EF，CE⊂平面BB₁C₁C，所以CE⊥平面AEFG，
连接EG，则CE⊥EG，∠CGE是CG与平面AEFG所成的角，
因为CG=
CD2+DG2＝
5，所以sin∠CGE=