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有一数列{an},满足a1=2,a(n+1)=2an/(1+an),写出该数列的一个通项公式

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 01:09:38
有一数列{an},满足a1=2,a(n+1)=2an/(1+an),写出该数列的一个通项公式
∵a(n+1)=2an/(1+an),
两边取倒数
1/a(n+1)=(1+an)/(2an)=1/2+(1/2)*1/an
设bn=1/an
则b(n+1)=1/2bn+1/2
∴b(n+1)-1=1/2(bn-1)
∴[b(n+1)-1]/(bn-1)=1/2
∴{bn-1}为等比数列,公比为1/2
又b1-1=1/a1-1=1/2-1=-1/2
∴bn-1=-1/2*(1/2)^(n-1)=-1/2^n
∴bn=1-1/2^n
∴1/an=1-1/2^n
an=1/(1-1/2^n)=2^n/(2^n-1)